Gemeinsame Verteilung Bernoulli und Binomialverteilung

Question

Aufgabe:

X,Y sind unabhängige Zufallsvariablen. X sei Bernoulliverteilt auf {0,1} mit p∈(0,1) und Y Binomialverteilt mit (n,p), n∈ℕ, p∈(0,1). Berechne die Verteilung und den Erwartungswert von Z=XY

Problem/Ansatz:

P(Z=k) kann ja zwei Werte annehmen (oder?): 0 und 1. Also habe ich für P(Z=0) wegen der Unabhängigkeit der ZV P(X=0)*P(Y=0) + P(X=1)*P(Y=0)+ P(X=0)*P(Y=1).

Nun ist meine Frage, ob sich der Bereich der Binomialverteilung wegen der Verknüpfung mit der Bernoulliverteilung auf die Werte 0 und 1 beschränkt, also ob n=1 ist und k 0 oder 1? Dann wäre z.B. P(Y=0) = 1-p. Ist das korrekt?

Danke schonmal <3

Answer 1

P(Z=k) kann ja zwei Werte annehmen (oder?)

Ein Beispiel.

X ist bernoulliverteilt auf {0, 1} mit p = 0,4. Dann kann X die Werte 0 und 1 annehmen.

Y ist binomialverteilt mit n=3, p=0,3. Dann kann Y die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen.

Deshalb kann Z=XY die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Das ergibt sich aus der Menge der möglichen Produkte der Zahlen 0, 1 mit den Zahlen 0, 1, 2, 3.

Es ist

        P(Z = 1)
        = P(X=1 ∧ Y=1)
        = P(X=1) · P(Y=1)
        = 0,4 · (3C1)·0,3¹·(1-0,3)^3-1.

        P(Z = 0)
        = P(X=0 ∨ Y=0)
        = P(X=0) + P(Y=0) - P(X=0 ∧ Y=0)
        = (1-0,4) + (3C0)·0,3⁰·(1-0,3)^3-0 - (1-0,4)·(3C0)·0,3⁰·(1-0,3)^3-0.

Comments

Dann bekomme ich im allgemeinen Fall (für ein unbestimmtes n) für die Verteilung

P(Z=0) = 1-p+p(1-p)ⁿ für k = 0

P(Z=k) = (nCk)•p^k+1 •(1-p)^n-k für alle k≥1

und damit den Erwartungswert E(Z) = k·(nCk)•p^k+1•(1-p)^n-k =p·np,

da ich das p^k+1 aufteilen kann und wieder zur Binomialverteilung komme. Richtig? :)