Hallo AK14,
Das charakteristische Polynom hast du richtig berechnet. Die Nullstellen auch, dir ist da allerdings eine Klammer verloren gegangen:
(T-i)(T+i)(T+(√3*i-1)/2)(T-(√3*i+1)/2)
Deine Primfaktozerlegung sieht auch gut aus.
Das Minimalpolynom ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms, es kommen also nur \( X^2 +1\), \(X^2-X+1\) und \( (X^2+1)(X^2-X+1)\) in Frage. Wenn du schon nachgerechnet hast, dass \( A^2 + I \neq 0 \) und \( A^2 - A + I \neq 0 \) ist, muss das Minimalpolynom also gleich dem charakteristischen Polynom sein.
Ist K algebraisch abgeschlossen, so ist Ψf ein Teiler von Χf . (Letzteres gilt über jedem
Körper.)
Das klingt seltsam. Erst wird algebraisch abgeschlossen verlangt, anschließend wird gesagt es gilt über jedem Körper... Mach dir da die genaue Aussage nochmal bewusst. Klar ist: das MiPo teilt immer das CharPo.
Zu d) Wären die irreduziblen Faktoren nicht (T^2+1), (T^2-T+1) ?
Ja genau. ℝ[x] ist faktoriell, also stimmen die Begriffe Primelement und irreduzibles Element überein.
Die f-invarianten Unterräume sind jetzt gerade die Kerne der Matrizen die man enthält, wenn man \( A \) in die irreduziblen Faktoren einsetzt:
$$ V_1 := \ker A^2 + I = \operatorname{Lin}( (0,1,0,0), (0,0,0,1) ) \\ V_2 := \ker A^2 - A + I = \operatorname{Lin} ((1,0,0,0),(0,0,1,0)) $$
Das ergibt die Basis \( ( (0,1,0,0), (0,0,0,1), (1,0,0,0),(0,0,1,0)) \), die Darstellungsmatrix bezüglich dieser ist
$$ \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \\ && \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\ & & - \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$
der obere Block korrespondiert zu \( X^2 + 1 \) der untere zu \( X^2-X+I \).