Beweis holomorphe Funktion

Question

Für eine auf \( \mathbb{C} \backslash\{0\} \) holomorphe Funktion \( f \) gelte \( |f(z)|=1 \) für alle \( |z|=1 \). Beweisen Sie, dass

$$ f\left(\bar{z}^{-1}\right)=(\overline{f(z)})^{-1} $$
gelten muss.

Answer 1

Hallo,

\( |f(z)|=1, |z|=1 \Rightarrow f(z)=e^{i\phi}, z=e^{i\theta} \\ f\left(\bar{z}^{-1}\right)=f(e^{i\theta})=f(z)=e^{i\phi}=\overline{e^{i\phi}}^{-1}=\overline{f(z)}^{-1}  \)

Gilt zumindest auf der Einheitskreisscheibe