Lineare Abbildungen - prüfen

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei die Matrix (A(x1 x2 x3))=> 3 Zeilen = (7x1 + 5x2 nächste Zeile: x1 - 2x3) Untersuchen sie ob die angegebene Abbildung linear ist. Wie soll ich das prüfen?

Problem/Ansatz:

Einfach auf lineare Unabhängigkeit prüfen, wäre mein Ansatz - aber ob das stimmt, weiß ich nicht

Vielen Dank schon mal :)

Comments

Finde leider das Tool nicht mehr, das Bild in Text konvertiert, beherrsche kein Latex :/

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Schau mal rechts, da gibt es einen LaTex-Assistent( https://www.matheretter.de/rechner/latex )

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Du kannst die Matrix auch mit dem Tabellentool erstellen

1	2	3
4	5	6
7	8	9

In Latex kann das dann auch jemand anders übernehmen, geht schnell :)

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Ich glaube ich habe die Antwort schon - ich muss die Abbildung auf Additivität prüfen - wenn unerwünscht, also bitte einfach die Frage löschen, danke :)

Answer 1

Aloha :)

Ich würde einfach die Abbildungsmatrix \(\mathbf A\) konkret angeben:

$$\mathbf A\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\binom{7x_1+5x_2}{x_1-2x_3}=\binom{7}{1}x_1+\binom{5}{0}x_2+\binom{0}{-2}x_3=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}7 & 5 & 0\\1 & 0 & -2\end{array}\right)}_{=\mathbf A}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$Damit ist die Linearität klar, denn mit \(\vec x,\vec y\in\mathbb R^3\) und \(\alpha\in\mathbb R\) gilt:$$\mathbf A\cdot(\vec x+\vec y)=\mathbf (\mathbf A\cdot\vec x)+(\mathbf A\cdot \vec y)\quad;\quad\mathbf A\cdot(\alpha\vec x)=\alpha\cdot(\mathbf A\vec x)$$

Comments

Vielen Dank :) Ja einfach eine Additivitätsprüfung durchführen f(x + y) = f(x) + f(y) f(Lambda * x) = Lambda * f(x)

Freue mich schon auf die morgige Prüfung, hab solange gelernt, nur leider vergesse ich Gelerntes gerne, kann im Kontext das entsprechende nicht anwenden bzw. mich an die Formeln entsinnen - das nervt :/

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Wenn du eine Abbildungs-Matrix angegeben kannst, hast ist die Abbildung automatisch linear. Das geht oft erheblich schneller als der explizite Nachweis von Additivität und Homogenität.