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Aufgabe:

Man berechne die Bogenlänge des Stücks der Raumkurve:

$$\vec{x}=\begin{pmatrix} t^2+1\\t\\t \end{pmatrix}$$ 

von P(1,0,0) nach Q(2,1,1).


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte helfen?

Ich komme hier nicht weiter, würde mich über Erklärung/Lösung sehr freuen.

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Hallo,

für die Länge einer Kurve, die in dieser Form gegeben ist, gibt es eine einfache Formel (mit einem Integral). Wie habt Ihr diese formuliert? Was wäre Dein Problem damit?

Gruß

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

\(||\dot{\vec{x}}||=\sqrt{(2t)^2+2}=\sqrt{2}\sqrt{(\sqrt{2}t)^2+1}\\ L= \int_{0}^1||\dot{\vec{x}}|| dt =   \int_{0}^1\sqrt{(\sqrt{2}t)^2+1}\sqrt{2}dt \)

\(Substitution:\sqrt{2}t=sinh(z) \Rightarrow \sqrt{2}dt=cosh(z)dz\\ L=\int_{0}^{arsinh(\sqrt{2})}\sqrt{sinh^2(z)+1}cosh(z)dz=\int_{0}^{arsinh(\sqrt{2})}cosh^2(z)dz\\=\dfrac{1}{2}(arsinh(\sqrt{2})+sinh(arsinh(\sqrt{2}))cosh(arsinh(\sqrt{2}))\\=\underline{\underline{\dfrac{1}{2}(arsinh(\sqrt{2})+\sqrt{2}\sqrt{3})}}\)

Das letzte Integral kann man lösen, indem man cosh^2(z) über die Definition des cosh auf die Exponentialfunktion zurückführt.

Avatar von 37 k

Könnten sie mir erklären wie man auf arcsinh kommt?

\(\sqrt{2}t=sinh(z) \Rightarrow arsinh(\sqrt{2}t)=z\\ \) und dann die Grenzen für t einsetzen einsetzen

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