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Aufgabe:

Es sei T > 0 und ωn = \( \frac{2πn}{T} \) ∈ ℕ0.

Zeigen sie, dass für m,n ∈ ℕ0 gilt:

\( \int\limits_{ -T/2}^{\ T/2} \) cos(ωmt) cos(ωnt) dt =

 \( \frac{T}{2} \) für m = n ≠ 0

T für m = n = 0

0 für m ≠ n


Problem/Ansatz:

Habe erstmal das bestimme Integral ausgerechnet.

\( \int\limits_{ 0}^{\ T} \) cos(ωmt)2 = \( \frac{sin(u) * cos(u)}{4πn} \) + \( \frac{t}{2} \)  , mit u = \( \frac{2πn}{T} \) * t

Das kann ich für m = n ≠ 0 ja erstmal so machen, da kommt dann auch \( \frac{T}{2} \) raus.

Für m = n =  0 wäre es, \( \int\limits_{ 0}^{\ T} \) cos(0)dt = \( \int\limits_{ 0}^{\ T} \) 1 dt = t, für m = n = 0 kommt also T raus.

Wie zeige ich es aber für m ≠ n kann ich da sagen, dass cos(x) * cos(y) = \( \frac{1}{2} \) * (cos(x-y) + cos(x+y)) ist und dann das Integral damit ausrechnen ?

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Wie zeige ich es aber für m ≠ n kann ich da sagen, dass cos(x) * cos(y) = \( \frac{1}{2} \) * (cos(x-y) + cos(x+y)) ist und dann das Integral damit ausrechnen ?

Ja das geht.

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