e-Funktion bestimmen 1.und 2.Ableitung

Question

Aufgabe:

Bestimme die 1. und 2.Ableitung von f(x)=1/4(x^2-2)•e^2x

Problem/Ansatz:

Ich weiß das hierfür die Produktregel wichtig ist und habe diese auch bestimmt, nur komm ich jedes mal zu einem falschen Ergebnis

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitungen funktionieren gut mit der Produktregel:

$$f(x)=\frac{1}{4}\cdot\underbrace{(x^2-4)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{2x}}_{=v}$$$$f'(x)=\frac{1}{4}\cdot\underbrace{2x}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{2x}}_{=v}+\frac{1}{4}\cdot\underbrace{(x^2-4)}_{=u}\cdot \underbrace{2e^{2x}}_{=v'}=\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\left(x^2+x-4\right)}_{=w}\cdot \underbrace{e^{2x}}_{=v}$$$$f''(x)=\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\left(2x+1\right)}_{=w'}\cdot \underbrace{e^{2x}}_{=v}+\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\left(x^2+x-4\right)}_{=w}\cdot \underbrace{2e^{2x}}_{=v'}=\left(x^2+2x-\frac{7}{2}\right)\cdot e^{2x}$$

Answer 2

Wir haben folgendes: $$f(x)=\frac{1}{4}(x^2-2)\cdot e^{2x} \\ f'(x)=\frac{1}{4}\left ((x^2-2)'\cdot e^{2x}+(x^2-2)\cdot (e^{2x})'\right )=\frac{1}{4}\left (2x\cdot e^{2x}+(x^2-2)\cdot 2e^{2x}\right )=\frac{1}{4}(x^2+x-2)\cdot 2e^{2x} \\ =\frac{1}{2}(x^2+x-2)\cdot e^{2x} \\ f''(x)=\frac{1}{2}\left ((x^2+x-2)'\cdot e^{2x}+(x^2+x-2)\cdot \left (e^{2x}\right )'\right ) \\ =\frac{1}{2}\left ((2x+1)\cdot e^{2x}+(x^2+x-2)\cdot 2\cdot e^{2x}\right )=\frac{1}{2}\left ((2x+1+2x^2+2x-4)\cdot e^{2x}\right )\\  =\frac{1}{2}\left ((2x^2+4x-3)\cdot e^{2x}\right ) =\frac{1}{2}(2x^2+4x-3)\cdot e^{2x} $$