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Vektoren Kontext Aufgabe 2a)

blob.png  Abbildung 1

In Abbildung 1 ist ein regelmäßiges Tetraeder \( A B C D \) mit den Eckpunkten \( A(0|0| 0), B(10|10| 0) \), \(C(10|0|10)\) und \(D(0|10|10) \) in einem kartesischen Koordinatensystem abgebildet. (Massstab 1:2)


(1) Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes \( M \) von \( \overline{A B} \) an.
(2) Zeigen Sie, dass das Dreieck \( A B C \) gleichseitig ist.
(3) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \( A B C \) und den Oberflächeninhalt des Tetraeders \( A B C D \).
[Zur Kontrolle: \( O_{\text {Tetraeder}}=200 \cdot \sqrt{3} \) FE]
(4) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte eines Würfels mit dem Volumen \( V=1000 \mathrm{VE} \) an, der das Tetraeder enthält.

war: https://www.mediafire.com/view/hodr3vai1vn08b2/WhatsApp_Image_2021-05-26_at_17.28.26.jpeg/file


Problem/Ansatz:
Verstehe diese Aufgabe überhaupt nicht kann mir einer behilflich sein?


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Bitte um Dringende Hilfe

2 Antworten

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Hallo,

den Mittelpunkt berechnest du mit \(\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}\)

Zu dem Rest kann ich was sagen, wenn ich mit meiner Nichte ihre Hausaufgaben besprochen habe.:-)

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Danke dir hoffe, dass du mir gleich weiter hilfst

Du hoffst nicht vergebens...

zu b) Zeige, dass die Strecken AB, AC und BC gleich lang sind.

soll ich jetzt einfach die Vektoren berechnen oder wie ?

Wenn du die Seitenlänge berechnet hast, kannst du damit die Höhe bestimmen (z.B. Pythagoras), die du für den Flächeninhalt des Dreiecks brauchst.

Der Flächinhalt des Tetraeders entspricht dem Vierfachen des Dreiecksinhaltes.


Du berechnest die Länge der Vektoren mit \(\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\)

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(1)

\(\large{M_{AB}(\frac{0+10}{2}|\frac{0+10}{2}|\frac{0+0}{2})=(5|5|0)} \)


(2)

\({\overline{AB}=\begin{pmatrix} 10\\10\\0 \end{pmatrix};~\overline{AC}=\begin{pmatrix} 10\\0\\10 \end{pmatrix};~\overline{BC}=\begin{pmatrix} 0\\10\\-10 \end{pmatrix}}\\ |\overline{AB}|=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\\|\overline{AC}|=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\\|\overline{BC}|=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\\=>Somit~ist~das~Dreieck~ABC~gleichseitig \)


(3)

Flächeninhalt Dreieck

A=\( \frac{1}{2} \) \(\cdot\) |\(\overline{AB}\) x \(\overline{AC}\)| (Kreuzprodukt)


Oberflächeninhalt Tetraeder

O=4 \(\cdot\) A


(4)

Den ersten Punkt könntest du im Ursprung setzen, heißt also

\(P_{1}(0|0|0) \).

Wir wissen, dass das Volumen 1000VE beträgt. Wir können die Seitenlänge a wie folgt berechnen:

\(\sqrt[3]{1000} \)=10. a muss also 10E lang sein. Mit dieser Information können wir nun den zweiten Punkt bestimmen, der wäre dann z.B.:

\(P_{2}(10|0|0) \).

Versuch jetzt mal selbst, die restlichen Punkte zu bestimmen. Da es sich hierbei um einen Würfel handelt, sind alle Seiten gleich lang. Wenn du nicht weiterkommen solltest, kannst du gerne Bescheid geben.

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kannst du mir das bitte näher erläutern ich verstehe es leider noch nicht

was genau verstehst du denn nicht? Welcher Aufgabenteil?

3 und 4 verstehe ich nicht

Die Vektoren AB und AC hab ich dir oben ja schon ausgerechnet. Von den beiden bildest du nun das Kreuzprodukt. Dann entsteht ein neuer Vektor und von dem nimmst du dann den Betrag. Zum Schluss multiplizierst du noch mit 0,5 und du hast den Flächeninhalt A. Um den Oberflächeninhalt zu berechnen rechnest du einfach 4 • A aus.

Soweit verstanden?

hmm.. aber welche Punkte könnte ich denn noch nehmen ?

zu 3) habe A= Vektor(50/0/0)

Ich blicke hier nicht durch kannst du mir behilflich sein bitte

zu 3) habe A= Vektor(50/0/0)

Wie bist du auf den Vektor gekommen?


und zu (4)

Ich gebe dir mal die Grundfläche vor

\(P_{1}=(0|0|0);~P_{2}=(10|0|0);~P_{3}=(10|10|0);~P_{4}=(0|10|0) \).

Zeichne diese Punkte in das Koordinatensystem ein, wo auch das Tetraeder abgebildet ist.

Wenn du die Punkte eingezeichnet hast, schau dir folgendes Video an.

3)  A= 1/2* (10/10/10)*(10/0/10)

= 1/2*(100/0/0)

= (50/0/0)

(10/10/10)*(10/0/10)

du sollst die beiden Vektoren nicht einfach multiplizieren, sondern das Kreuzprodukt berechnen.

Anschließend dann den Betrag nehmen. Und zum Schluss mit 0,5 multiplizieren.

was habe ich da falsch gemacht kannst du das bitte vorrechnen ?

was ist ein Kreuzprodukt =?

Schau dir mal dieses Video an:

was ist ein Kreuzprodukt =?

siehe hier: https://www.gut-erklaert.de/mathematik/kreuzprodukt-vektorprodukt.html

was habe ich da falsch gemacht kannst du das bitte vorrechnen ?

A=\(\frac{1}{2}~\cdot~\left( \left|\begin{pmatrix} 10\\ 10\\0 \end{pmatrix}~\times~\begin{pmatrix} 10\\ 0\\ 10\end{pmatrix}  \right|\ \right)\\=\frac{1}{2}~\cdot~ \left| \begin{pmatrix} 100\\-100\\-100 \end{pmatrix} \right|\\=\frac{1}{2}~\cdot~\sqrt{100^2+(-100)^2+(-100)^2}≈ 86,60 \)

habe dann 0 raus

habe dann 0 raus

Wo?

ahh moment mal moinsen aber was hat es dann mit 0=4*A auf sich ?

habe nämlich dann 346,4FE

ahh moment mal moinsen aber was hat es dann mit 0=4*A auf sich ?

Oberflächeninhalt=4\(\cdot\)86,60=...

Die Oberfläche besteht aus den 4 gleichseitigen Dreiecksflächen. Deshalb lässt sich der Oberflächeninhalt mit 4\(\cdot\)A berechnen.

habe nämlich dann 346,4FE

Das kannst du jetzt auch noch kontrollieren:

[Zur Kontrolle: \( O_{\text {Tetraeder}}=200 \cdot \sqrt{3} \) FE]

200\(\cdot\)\( \sqrt{3} \)≈346,4.

Das Ergebnis stimmt also.

achso. Danke dir weißt du wie ich die 4 machen kann das ist mir alles so neu

Da hilft das Video, was ich oben in einem Kommentar verlinkt habe. Ist im Prinzip das gleiche nur mit einer anderen Zahl.

ich versuche mich mal dran kannst du vielleicht dir meine 2. Frage anschauen fort hatte ich schon was gerechnet

Ja kann ich machen

und ? wie sieht es mit der Anderen Frage aus ?

bin gerade noch mit was anderem beschöftigt. Gucke da gleich drüber wenn ich fertig bin

ok weiß ich bescheid danke dir

Aber von welchem Punkt muss man denn Ausgehen bei 4) ?

Ich hab dir oben 4 Punkte vorgegeben. Kannst dir einen von denen aussuchen und dann nach dem selben Prinzip wie im Video vorgehen

achso ok mache ich dann

ja aber welche punkte soll ich denn aussuchen im video ist ein Quader abgebildet meins ist ein Tetraeder

also welche Punkte müssen bestimmt werden ?

Im Video ist ein Würfel abgebildet, wobei nur ein Punkt gegeben ist. Anhand von diesem Punkt lassen sich auch die anderen Eckpunkte ermitteln. Das gleiche sollst du auch machen, d.h. die Eckpunkte des Würfels angeben, in der das Tetraeder liegt. Dabei habe ich dir die Grundfläche des Würfels schon angegeben, heißt 4 Punkte. Das einzige was du jetzt nur noch machen musst, ist die restlichen Eckpunkte, wie im Video gezeigt, zu ermitteln

ist dann A(0/0/7) ?

Wie kommst du denn auf (0|0|7)?

dachte man geht von (0/0/0) aus und bewegt sich quasi 7 hoch

Ich stehe hier wirklich auf dem Schlauch kannst du mir das vielleicht vorrechnen, damit ich das durchblicken kann ?

dachte man geht von (0/0/0) aus und bewegt sich quasi 7 hoch

Aber wieso 7?

Ich stehe hier wirklich auf dem Schlauch kannst du mir das vielleicht vorrechnen, damit ich das durchblicken kann ?

Wenn du 1zu1 das selbe machst wie im Video, nur ersetzt du die 3 mit der 10, dann kommst du doch auch auf die gesuchte Lösung. Zeichne also den Punkt (0|10|0) ein und geh einfach das Video durch. Viel rechnen musst du in dieser Aufgabe nicht

dann muss ja a(0/0/3) sein oder nicht genau das selbe

Ließt du denn überhaupt noch meine Kommentare?

nur ersetzt du die 3 mit der 10

achso tut mir leid habe ich übersehen dann muss a (0/4/3) sein oder nicht

wenn der wert nicht stimmt dann weiß ich auch nicht mehr

Ich gehe mal davon aus, dass du hier gerade nur noch trollst. Wenn du wirklich Hilfe brauchst, dann ließ dir meine Kommentare durch. Mehr Hilfe solltest du nicht mehr brauchen und wirst du von mir auch nicht mehr kriegen

ah ne moment a müsste (0/7/3)

nein ich meine es ernst. Ich will dich nicht trollen. Blicke gerade wirklich nicht mehr durch. Ich bin für deine Hilfe sehr Dankbar !

Hallo Riddler,

für die Aufgabe (4) habe ich Dir den Würfel in obigen Bild hinzu gefügt.

blob.png

klicke auf das Bild, dann öffnet sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren und die Eckpunkte ablesen. Nimm alle Kordinaten aus der Szene dann noch mit 2 mal, da diese im Massstab 1:2 dargestellt ist.

Jede Eck-Koordinate \((x|y|z)\) bekommst Du, wenn Du für \(x\), \(y\) und \(z\) entweder eine \(0\) oder eine \(10\) verwendest:$$E_1(0|0|0) = A \\ E_2(10|0|0) \\ E_3(10|10|0) = B \\ E_4(0|10|0) \\\dots$$und das ganze nochmal, diesmal mit \(z=10\)

habe für B(10/10/0) c(10/0/10) d(0/10/10)

habe für B(10/10/0) c(10/0/10) d(0/10/10)

Ja - \(B\) hatten wir schon und nun noch \((0|0|10)\) und \((10|10|10)\) und dann hast Du alle acht Ecken.

Kannst Du diese auch im Bild eingeben? Schau Dir mal das Geoknecht3D-Script an und füge z.B.

punkt(5|5|5 "Hallo")

hinzu.

habe ich gemacht

kannst du mir bei meiner ersten Frage behilflich sein?

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