Aufgabe:
Wir betrachten das folgende Spiel:
Eine unfaire Münze (P(Zahl) = p > 0.5 ist uns bekannt) wird geworfen. Pro Runde darf ein freier prozentualer Betrag (q_i) des Kapitals eingesetzt werden - bei Sieg gewinnen wir den Einsatz, bei Niederlage verlieren wir ihn. Angenommen das Spiel läuft N Runden:
a) Welchen Anteil meines Kapitals sollte man pro Runde setzen, um den Erwartungswert von Y_N zu maximieren, wobei y_0 = Startkapital, Y_1 = Kapital nach Runde 1, etc.)
b) Welchen Anteil des Kapitals sollte man pro Runde setzen, um den Erwartungswert von log(Y_N) zu maximieren?
Problem/Ansatz:
Ich habe mir bisher folgenden Ansatz überlegt:
E(Y_1) = y0 + (y0*q_1*p) - (y0*q_1*(1-p))
E(Y_2) = E(Y_1) + E(Y_1)*q_2*p - E(Y_1)*q_2*p
...
E(Y_N) = E(Y_N-1) + E(Y_N-1)*q_n*p - E(Y_N-1)*q_n*p
und versucht diese Formeln unabhängig von Y_i-1 darzustellen - bin jedoch bei Umformungen auf keine gute Lösung gekommen. Ich bin mir relativ sicher, dass mein Ansatz korrekt sein sollte, weiß jedoch nicht so wirklich weiter.
Vielen Dank für eure Unterstützung!