Bestimme die Zahlen.

Question

Aufgabe:

Die Differenz zweier ganzer Zahlen beträgt 1, die Summe ihrer Quadrate $221 .$ Bestimme die Zahlen.

Problem/Ansatz:

Quadratische Gleichungen Lösen …

Answer 1

Die erste Bedingung ist eine Geradengleichung, die zweite eine Kreisgleichung. Die Gerade schneidet den Kreis an zwei Punkten. Das sind die Lösungen.

Comments

Aus der Geradengleichung folgt a = b + 1

Das eingesetzt in die Kreisgleichung und dann ausmultipliziert führt zur quadratischen Gleichung 2b² + 2b - 220 = 0 was man mit der Mitternachtsformel lösen kann, mit den Lösungen b₁ = 10 und b₂ = -11 welche man wiederum in die erste Gleichung dieses Kommentars einsetzen kann.

Answer 2

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10 und 11

Comments

Aber wenn ich das mit pq Formel lose dann kommt 10 aber da kommt nicht 11 sondern -11

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Aber wenn ich das mit pq Formel lose dann kommt 10 aber da kommt nicht 11 sondern -11

Du hast sicher $n$ berechnen.

Und im Fall von $n=10$ ist $n+1=11$ - macht das Paar $(10,11)$ und bei der zweiten Lösung mit $n=-11$ wäre $n+1=10$ macht das Paar $(-11,-10)$.

Ist alles richtig ;-)

Answer 3

x-y= 1

x= 1+y

x²+y² = 221

(1+y)²+y² =221

y²+2y+1+y² =221

2y²+2y= 220

y²+y-110 = 0

Vieta:

(y+11)(y-10) = 0

y= -11 v y= 10

x= -10 v x= 11

Answer 4

Der Weg bis dahin ist schon aufgezeigt worden, nun weiter mit der quadratischen Ergänzung:

$y^2+y-110 = 0$

$y^2+1y = 110$

$y^2+1y+0,5^2 = 110+0,5^2$

$(y+0,5)^2 = 110+0,5^2=110,25|\sqrt{}$

$y+0,5 =110,25|\sqrt{}$

1.)$y+0,5 =10,5$

$y₁=10$

2.)$y+0,5 =-10,5$

$y₂=-11$