Aloha :)
Das lokale Maximum bei (e∣∣∣e1) hast du richtig bestimmt.
Die Ableitung der Funktion lautet jedoch:f′(x)=x21−ln(x)Für x>e ist sie negativ, d.h. für x>e ist die Funktion streng monoton fallend.
Für x<e ist positiv, d.h. für x<e ist die Funktion streng monoton steigend.
Daher muss das lokale Maximum bei x=e sogar das globale Maximum sein.
Da der Definitionsbereich x∈(0∣e2] lautet, findest du bei x=e2 noch ein lokales Randminimum (die Funktion ist ja für x>e streng monoton fallend), das du mit den Mitteln der Differentialrechnung nicht ermitteln kannst, da die Funktion für x=e2 nicht differenzierbar ist (es existeirt kein rechtsseitiger Grenzwet des Differenzenquotienten).
Wegen x→0limf(x)=−∞ gibt es kein Randminimum am linken Rand, die Funktion ist für x=0 ja auch gar nicht definiert.