Nullvektor senkrecht auf allen Einheitsvektoren?

Question

Aufgabe:

Sei x∈ℝ³ ein Vektor, der auf jedem der drei Einheitdvekrtoren e₁, e₂, e₃ senkrecht steht.

Beweisen Sie, dass x der Nullvektor ist.

Problem/Ansatz:

Skalarprodukt = 0 ⇔ Vektoren sind orthogonal zueinander.

Skalarprodukt von Nullvektor und jeweils e₁, e₂, e₃ ergibt immer 0 ⇒ Nullvektor steht senkrecht auf e₁, e₂, e₃

Ist damit bewiesen, dass es der Nullvektor ist?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Beweisen Sie, dass x der Nullvektor ist.

hast du damit nicht bewiesen. Du hast nur bewiesen:

WENN x der Nullvektor ist, DANN steht er auf allen Einheitsvektoren senkrecht.

Du musst aber beweisen:

WENN x auf allen Einheitsvektoren senkrecht steht, DANN ist x der Nullvektor.

Das geht ab besten über die Kontraposition: Wenn x nicht der Nullvektor ist, dann steht x auf einem der Einheitsvektoren nicht senkrecht. Kannst du das in der Form beweisen?

Comments

Ehrlich gesagt nicht, könntest Du mir einen Tipp geben?

Answer 2

Es sei $x=(x_1,x_2,x_3)$ orthogonal zu $e_i$ für

$i=1,2,3$, dann gilt $0=x\cdot e_i=x_i$ für $i=1,2,3$,

unter "$\cdot$" das Standardskalarprodukt verstanden.

$x$ ist daher der Nullvektor $(0,0,0)$.

(Ich habe alle Vektoren als Zeilenvektoren notiert.)

Comments

Vielen Dank!

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x ist daher der Nullvektor $(0,0,0)$.

Genau die Begründung für das "daher" bist du schuldig geblieben.