Durch v(t) wird die Bewegung eines Fahrzeugs beschrieben.

Question

Aufgabe:

Durch \( v(t)=a t+b t^{2} \) wird die Bewegung eines Fahrzeugs beschrieben. Dabei ist \( t \) die Fahrzeit in Stunden und \( v(t) \) die Momentangeschwindigkeit nach \( t \) Stunden. Die Höchstgeschwindigkeit wird nach zweieinhalb Stunden erreicht und in vier Stunden wird eine Entfernung von \( 120 \mathrm{~km} \) zurückgelegt.

Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion s(t).

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich hier?

Answer 1

Die Höchstgeschwindigkeit wird nach zweieinhalb Stunden erreicht

Der Graph von v ist also eine Parabel mit Hochpunkt bei (2,5  ;  ? ) .

==>  v'(2,5)=0 ==>   a+2b*2,5=0 ==>  a=-5b.            ==>  v(t)=-5bt+bt^2

\(   s(x) =  \int \limits_{t=0}^x v(t)dt =  \int \limits_{t=0}^x (-5bt+bt^2)dt   \)

\( =  [ -2,5bt^2 + \frac{b}{3}t^3 ]_0^x  =  -2,5bx^2 + \frac{b}{3}x^3 \)

s(4) = 120 ==>   \(  -2,5b\cdot16 + \frac{b}{3}\cdot64=120 \)

             \(    -40b + \frac{64}{3}\cdot b=120 \)

                 \(     \frac{-56}{3}\cdot b=120 \)

            ==>  b≈-6,43 also a≈32,1

==>   s(t) =  16,1t^2 - 3,14t^3 .