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Zur Berechnung der Länge des Graphen von \(y(x)\) betrachte eine kleine Änderung der Funktion \(\Delta x\) entlang der \(x\)-Achse. Der \(y\)-Wert ändert sich dabei auch um ein kleines Stück \(\Delta y\). Es entsteht ein rechwinkliges Dreieck, dessen Hyptohenuse \(\Delta s\) in etwa die Länge der Funktion entlang des Teilstücks \(\Delta x\) beschreibt. Nach Pythagoras gilt:$$\Delta s\approx\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\Delta x\cdot\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\quad\implies\quad\frac{\Delta s}{\Delta x}\approx\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}$$
Wenn du nun den Grenzübergang \((\Delta x\to0)\) bildest, wird diese Näherung exakt und aus den Differenzenquotienten werden die jeweiligen Ableitungen:$$s'(x)=\sqrt{1+\left[y'(x)\right]^2}$$
Die Länge des Graphen folgt daher aus der Integration beider Seiten nach \(dx\).
Hier ist konkret \(y(x)=\sqrt{(x+3)^3}\) und \(x\in[-3;3]\). Das heißt:$$y(x)=(x+3)^{\frac32}\implies y'(x)=\frac32(x+3)^{\frac12}\implies\left[y'(x)\right]^2=\frac94(x+3)$$und die Länge des Kurvenstücks ist:$$\ell=\int\limits_{-3}^3s'(x)\,dx=\int\limits_{-3}^3\sqrt{1+\frac94(x+3)}\,dx=\frac12\int\limits_{-3}^3\sqrt{4+9(x+3)}\,dx=\frac12\int\limits_{-3}^3(9x+31)^{\frac12}dx$$$$\phantom\ell=\frac12\left[\frac{2}{3\cdot9}(9x+31)^{\frac32}\right]_{-3}^3=\frac{1}{27}\left(58^{\frac32}-4^{\frac32}\right)=\frac{1}{27}\left(58\sqrt{58}-8\right)\approx16,0635$$
