Wie werden die beiden Ausdrücke (L^*-L n)^2+(L n-L^*)^2 zu diesem Ausdruck (L^*-L n)^2?

Question

Hallo :)

ich hätte heute wieder eine Frage bezüglich folgender Umformung:

Text erkannt:

\( K=b \frac{c^{2}}{\left(b+c^{2}\right)^{2}}\left(L^{*}-L n\right)^{2}+\left(L n-L^{*}\right)^{2}\left(\frac{b}{b+c^{2}}\right)^{2} \)
\( K=\left(L^{*}-L n\right)^{2}\left(\frac{b c^{2}+b^{2}}{\left(b+c^{2}\right)^{2}}\right) \)
1) Wie werden die beiden Ausdrücke \( \left(L^{*}-L n\right)^{2}+\left(L n-L^{*}\right)^{2} \) zu diesem Ausdruck \( \left(L^{*}-L n\right)^{2} \) ?

Danke vorab für euere Unterstützung! :)

P.S. Würde mich freuen, wenn jemand die einzelnen Schritte der Umformung aufzeigen könnte. Verstehe es dann etwas besser :D

Gruß, Daniel

Comments

Du scheinst da etwas missverstanden zu haben.

Die beiden Terme  (L*-L_n)²  und  (L_n - L*)² sind identisch (warum ?).

Dieser Term wird dann nur ausgeklammert (Distributivgesetz).

Answer 1

Aloha :)

Zur Umformung des Terms$$K=b\,\frac{c^2}{(b+c^2)^2}\,\pink{(L^\ast-Ln)^2}+\pink{(Ln-L^\ast)^2}\,\left(\frac{b}{b+c^2}\right)^2$$

mache dir zuerst klar, dass die beiden pinken Terme gleich sind. Der eine geklammerte Term hat den negativen Wert des anderen und durch das Quadieren wird das Vorzeichen nichtig. Formal sieht das so aus:$$\small\pink{(L^\ast-Ln)^2}=\left(\;-(Ln-L^\ast)\;\right)^2=\left(\;(-1)\cdot(Ln-L^\ast)\;\right)^2=(-1)^2\cdot(Ln-L^\ast)^2=\pink{(Ln-L^\ast)^2}$$

Damit bist du schon fast fertig:$$K=\green{b\,\frac{c^2}{(b+c^2)^2}}\,\pink{(L^\ast-Ln)^2}+\pink{(L^\ast-Ln)^2}\,\left(\frac{b}{b+c^2}\right)^2$$$$\phantom K=\green{\frac{bc^2}{(b+c^2)^2}}\,\pink{(L^\ast-Ln)^2}+\pink{(L^\ast-Ln)^2}\,\frac{b^2}{(b+c^2)^2}$$$$\phantom K=\pink{(L^\ast-Ln)^2}\left(\green{\frac{bc^2}{(b+c^2)^2}}+\frac{b^2}{(b+c^2)^2}\right)$$$$\phantom K=\pink{(L^\ast-Ln)^2}\frac{\green{bc^2}+b^2}{(b+c^2)^2}=\pink{(L^\ast-Ln)^2}\frac{b(c^2+b)}{(b+c^2)^2}=\pink{(L^\ast-Ln)^2}\frac{b}{b+c^2}$$

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Besten Dank für die ausführliche Erklärung! Habe es verstanden :))

Answer 2

(L*-L_n)²=(L_n-L*)² also

(L*-L_n)2+(L_n-L*)²=2·(L_n-L*)²

Was du zeigen willst ist falsch

\( \left(L^{*}-L n\right)^{2}+\left(L n-L^{*}\right)^{2} \) ≠ \( \left(L^{*}-L n\right)^{2} \) .

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(L*-Ln)²=(Ln-L*)² ist doch nicht dasselbe? Genau das verstehe ich ja nicht. Wie können diese beide Terme plötzlich zu (L*-Ln)²  werden? Das will übrigens auch nicht ich zeigen, vielmehr handelt es sich dabei um eine Musterlösung...

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Ich nenne jetzt L*=a und L_n=b:

(a-b)²=a²-2ab+b²=a²+b²-2ab

(b-a)²=b²-2ab+a²=a²+b²-2ab.

Answer 3

vgl:

(a-b)^2 = (b-a)^2

Damit kann man ausklammern.

c(a-b) +d(a-b) = (a-b)*(c+d)

Comments

Wie kommen die Variablen c und d zu Stande?

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Was bleibt denn übrig, wenn man (a-b) jeweils ausklammert?

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Kann ich Dir nicht sagen, was bleibt da denn übrig?

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c+d

Hier wurde nur die Klammer (a-b) ausgeklammert.

vgl:

zb-zc = z(c-d)

Setze nun z= (a+b)