Allgemeine Formel für Normalparabel

Question

Aufgabe:

den Punkt P(2|5) ist angegeben

Problem/Ansatz:

Es soll eine allgemeine Formel für die verschobenen Normalparabeln gesucht werden, die durch den Punkt P(2|5) gehen

Answer 1

Hallo,

Es soll eine allgemeine Formel für die verschobenen Normalparabeln gesucht werden, ...

Über die Verschiebung ist nichts gesagt, also kann sie beliebig sein - oder?

Eine verschobene Normal-Parabel \(p\) kann man in vielfältiger Weise darstellen. Die Normalform $$f(x)=x^2+bx+c$$und die Scheitelpunktform$$f(x)=(x-x_{s})^2 + y_s$$sind nur zwei davon. Allen gemein ist, dass zwei Freiheitsgrade (Parameter) darin vorkommen, die aber über die Bedingung$$P=(2,5) \in p \implies f(2)=5$$ jeweils auf einen Parameter reduziert werden können:$$f(2)=2^2+b\cdot 2+c = 5 \implies b = \frac{1-c}{2} \\f(x)= x^2 + \frac{1-c}{2}x + c $$oder eben$$f(2)=f(x)=(2-x_{s})^2 + y_s=5 \implies y_s = 5-(2-x_s)^2 \\ f(x)= (x-x_{s})^2 + 5-(2-x_s)^2 \\\phantom{f(x)}= x^2 -2x_{s}x +1 +4x_{s}$$Beides sind zwei allgemeine Formeln für eine Normalparabel, die Durch den Punkt \(P=(2|5)\) geht.

Zur Veranschaulichung:

https://www.desmos.com/calculator/10wpgdqfu4

Hinweis: Die drei Punkte \(c=\dots\), \(x_{s}=\dots\) und \(P\) lassen sich verschieben

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die Erklärung

Answer 2

Hi,

eine Normalparabel hat die Form y = x². Wenn wir sie verschieben, können wir das entlang der y-Achse tun. Dafür addieren wir einen konstanten Wert: y = x² + c

Bestimmen wir nun c indem wir P einsetzen:

5 = 4 + c

c = 1

--> y = x² + 1

Probe: y = 2² + 1 = 5 -> Passt.

Grüße

Answer 3

Hallo,

y=x^2+bx+c

(2|5) → 5=2^2+2b+c → c=1-2b

--> y=x^2+bx+1-2b

Falls (2|5) der Scheitelpunkt sein soll:

y=(x-2)^2+5

Beim Verschieben in y-Richtung:

y=x^2+1

:-)