Aufgabe:
a ∈ ℝ, a > 0 fest. Bestimme die Menge \( x \) ∈ ℝ+ \ {1} für die gilt:
\( \frac{1}{ax}<\frac{1}{x-1} \)
Problem/Ansatz:
Ich habe zu einem ähnlichen Problem dieses englische Video gefunden:
Allerdings verstehe ich nicht alle Schritte in diesem Video, also habe ich es irgendwie anders versucht.
Generell versuche ich erstmal auf einer Seite eine 0 stehen zu haben.
\( \frac{1}{ax}<\frac{1}{x-1} \) |\( * \)a\( x \)
Hier muss ich ja bereits eine Fallunterscheidung durchführen.
Fall 1: ax > 0
⇔ \( 1 < \frac{ax}{x-1} \)
Jetzt würde ich links gerne eine 0 stehen haben, also die Ungleichung -1.
\( 1 < \frac{ax}{x-1} \) |-1
⇔ \( 0 < \frac{ax}{x-1} - 1 \)
⇔ \( 0 < \frac{ax}{x-1} - \frac{1}{1} \)
⇔ \( 0 < \frac{ax}{x-1} - \frac{x-1}{x-1} \)
⇔ \( 0 < \frac{ax -(x-1)}{x-1} \)
⇔ \( 0 < \frac{ax - x+1}{x-1} \)
Ab hier bin ich mir nicht wirklich sicher wie es weitergehen soll. Ich würde es halt so machen:
\( 0 < \frac{ax - x+1}{x-1} \) |\( * \) \( (x-1) \)
Fall 1: \( (x-1) > 0 \)
\( 0 < ax - x + 1 \) |\( -1 \)
⇔ \( -1 < ax - x \)
⇔ \( -1 < x*(a-1) \)
So und jetzt würde ich die drei möglichen Fälle für (a-1) prüfen.
Fall 1: (a - 1) > 0
\( -1 < x*(a-1) \) |:(a-1)
⇔ \( \frac{-1}{a-1}<x \)
Also ⌊={\( x < \frac{-1}{a-1} \)}
Fall 2: (a-1) = 0
\( -1 < x * 0 \)
Hier kommt eine wahre Aussage raus. Aber dann wäre die Lösungsmenge ja komplett ℝ. ???
Fall 3: (a-1) < 0
a muss ja > 0 sein, also wissen wir ja, dass es hier keine Lösung geben kann, oder?
Ich bin mir echt nicht sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Wenn ich die Lösungsmenge bei wolfram alpha nachschlage, erhalte ich folge Lösungen:
1. a = 1, x > 1
2. a = 1, x < 0
3. a > 1, x > 1
4. a > 1, 1 / (1 - a) < x < 0
5. 0 < a < 1, 1 < x < 1 / (1 - a)
#4 sieht ja irgendwie so ähnlich wie
Fall 1: (a - 1) > 0
\( -1 < x*(a-1) \) |:(a-1)
⇔ \( \frac{-1}{a-1}<x \)
aus, da ja hier a > 1 sein muss.
Ich hoffe jemand kann mir hier weiterhelfen. :D
