Bestimmen von zx', zy' und zxy'' von x^3 + y^3 + z^3 -3z = 0

Question

Man soll z_x' , z_y' und z_xy'' bestimmen, wenn x³+y³+z³-3z = 0 ist.

Nun haben wir in der Theorie eine Formel kennenglernt:

F(x, y, z) =c   →  z_x'=- F_x'/F_z', z_y' = -F_y'/F_z'  (F_z' ≠ 0)

Die habe ich angewendet. Dabei habe ich zuerst die ursprüngliche Funktion nach x abgeleitet, dann nach z und dies in die Formel für z_x' eingesetzt. Also: F_x' = 3x² und F_z' = 3z²-3. Analog habe ich dies für z_y' gemacht. Meine Lösungen sind richtig. 

Doch: in den Lösungen haben sie einen anderen Weg gewählt, den ich nicht ganz nachvollziehen kann, um z_x' zu erhalten: 

"Partielles Differenzieren nach x ergibt (*) 3x² + 3z²z_x' - 3z_x' =0" Was genau wird hier gemacht? z ist ja nich z_x', diese Komponente würde ja wegfallen beim Ableiten nach x..

Mein weiteres Problem: z_xy'' zu bestimmen. In den Lösungen stehen zwei Berechnungsvorschläge:

1. Um z_xy'' zu bestimmen, differenzieren Sie (*) nach y und erhlaten 6zz_y'z_x' + 3z²z_xy'' - 3z_xy'' = 0, so dass z_xy'' = 2zx²y²/(1-z²)³

2. Alternativ können Sie auch z_x' = x²/(1-z²) nach y differenzieren

Aber: bei 1. habe ich schon nicht verstanden wie sie zu (*) kommen, geschweige den wie sie zu z_xy'' kommen. Und bei 2. ist ja gar kein y in der Gleichung enthalten, wie soll man da nach y differenzieren? Gibt ja einfach 0