Konstruktion in der Ebene

Question

Aufgabe:

Gegeben seien in der Ebene eine Gerade g sowie drei Punkte A,B,C (alle auf derselben Seite von g und keiner direkt auf g).

Man finde einen Punkt P (oder jene Punkte P_i)  auf g, für welche(n) gilt, dass

         ∠(A,P,B) = ∠(B,P,C)

Am meisten würde ich rein konstruktive Lösungen (also möglichst ohne Koordinatensystem und Berechnungen) schätzen.

Comments

Ein bisschen Herumprobieren ergab Folgendes :

Alle schwarzen Punkte P erfüllen die Winkelbedingung. Sie liegen offenbar auf Kurven, von denen ich aber weder eine analytische Darstellung noch ein Konstruktionsverfahren kenne.
Je nach Lage der Geraden g und wie sie diese Kurven schneidet gibt es dann eine oder mehrere Lösungen des Problems.

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Besten Dank für die Untersuchung und die Darstellung !

Für eine konstruktive Lösung (mit den klassischen Mitteln) scheint der algebraische Grad des Problems doch etwas zu hoch zu liegen. Man könnte nun vielleicht noch fragen, welche Vereinfachungen der Eingangsdaten zu konstruierbaren Lösungen führen würden (beispielsweise:  A,B,C auf einer Geraden h).

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Ich habe jetzt meine zusätzliche Idee (mit A,B,C auf einer Geraden h) durchgedacht und die Lösung, für welche ein Apolloniuskreis zum Zug kommt, dargestellt.

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Beschreibung zur Konstruktion:

Die gegebenen Punkte A,B,C liegen auf der Geraden h. B teilt die Strecke AC innen in einem gewissen Teilverhältnis. D sei der entsprechende äußere Teilpunkt der Strecke AC zum selben Teilverhältnis. Der Kreis mit dem Durchmesser BD ist dann der gesuchte Apolloniuskreis. Ein Schnittpunkt P der Geraden g mit dem Apolloniuskreis ist dann ein Punkt auf g, von welchem aus die Strecken AB und BC unter dem gleichen Blickwinkel erscheinen.