Teilweises Wurzelziehen - warum wird das eine ausmultipliziert, das andere aber nicht?

Question

Aufgabe:

Term durch partielles Wurzelziehen vereinfachen:

\( \sqrt{24*(x+3)^2 *(2x+6)} \) = \( \sqrt{2^2*6*(x+3)^2 *(2x+6)} \) = 2*(x+3)*\( \sqrt{6*(2x+6)} \) = 2*(x+3)*\( \sqrt{12x+36} \)

Problem/Ansatz:

Warum wird \( \sqrt{6*(2x+6)}\) ausmultipliziert 2*(x+3) aber nicht? Oder kann 2*(x+3) ebenfalls ausmultipliziert werden?

Answer 1

Hallo

beim letzten = fehlt das 2(x+3) das man natürlich auch zu (6x+9) ausmultiplizieren kann, wenn man will.

man könnte auch noch aus 2x+6 2 ausklammern dann hat man unter de Wurzel  2^2*3(x+3 ) stehe, dann noch 2 aus der wurzel ziehen und hat dann 4*(x+3)*\( \sqrt{3(x+3) } \)=(4x+12)*\( \sqrt{3x+9)} \) (Was man einfacher findet ist Geschmacksache)

Gruß lul

Comments

Ok, habe ich das richtig verstanden?

im Ergebnis kann ich jedes a*(b+c) ausmultiplizieren? Auch das 2*(x+3)? oder ich kann es als a*(b+c) stehenlassen?

Answer 2

Man versucht unter der Wurzel möglichst viele gemeinsame Faktoren auszuklammern.

√(24·(x + 3)^2·(2·x + 6))
= √(48·(x + 3)^2·(x + 3))
= √(16·3·(x + 3)^2·(x + 3))
= √(4^2·(x + 3)^2·3·(x + 3))
= 4·(x + 3)·√(3·(x + 3))

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Das \((x+3)^2\) wird nicht ausmultipliziert, weil es eine Quadratzahl ist, sodass man daraus die Wurzel ohne großen Aufwand direkt ablesen kann. Alle Quadratzahlen werden unter einer Wurzel zusammengefasst:$$\phantom=\sqrt{24\cdot(x+3)^2\cdot(2x+6)}=\sqrt{\pink{2^2}\cdot6\cdot\pink{(x+3)^2}\cdot(2x+6)}$$$$=\sqrt{\pink{2^2}\cdot\pink{(x+3)^2}}\cdot\sqrt{6\cdot(2x+6)}=\pink2\cdot\pink{(x+3)}\cdot\sqrt{12x+36}$$

Das kann man sogar noch weiter vereinfachen:$$=\pink2\cdot\pink{(x+3)}\cdot\sqrt{\green{2^2}\cdot(3x+9)}=\pink2\cdot\pink{(x+3)}\cdot\sqrt{\green{2^2}}\cdot\sqrt{3x+9}$$$$=\pink2\cdot\pink{(x+3)}\cdot\green{2}\cdot\sqrt{3x+9}=4(x+3)\sqrt{3x+9}$$