Aloha :)
zu a) Wir bestimmen zuerst das unbestimmte Integral$$I_1=\int\frac{1}{1+x^2}\,dx$$Mit Hilfe der Substitution$$x\eqqcolon\tan u\quad\text{bzw.}\quad u\coloneqq\arctan(x)\quad\implies$$$$\frac{dx}{du}=\left(\frac{\sin u}{\cos u}\right)'=\frac{\cos^2u+\sin^2u}{\cos^2u}=1+\tan^2u\implies dx=(1+\tan^2u)\,du$$vereinfacht sich das Integral zu:$$I_1=\int\frac{1}{1+\tan^2u}\,\underbrace{(1+\tan^2u)\,du}_{=dx}=\int du=u+C=\arctan(x)+C$$
Das heißt für das gesuchte Integral:$$\int\limits_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(1)-\arctan(0)=\frac\pi4$$
zu b) Für den Fall \(n>1\) liefert partielle Integration:$$I_n=\int\limits_0^1\frac{1}{(1+x^2)^n}\,dx=\int\limits_0^1\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{1}{(1+x^2)^n}}_{=v}\,dx$$$$\phantom{I_n}=\left[\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{(1+x^2)^n}}_{=v}\right]_0^1-\int\limits_0^1\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\left(-\frac{2nx}{(1+x^2)^{n+1}}\right)}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{I_n}=\frac{1}{2^n}+2n\int\limits_0^1\frac{x^2}{(1+x^2)^{n+1}}dx$$$$\phantom{I_n}=\frac{1}{2^n}+2n\int\limits_0^1\left(\frac{(\pink1+x^2)\pink{-1}}{(1+x^2)^{n+1}}\right)dx$$$$\phantom{I_n}=\frac{1}{2^n}+2n\underbrace{\int\limits_0^1\frac{1}{(1+x^2)^n}dx}_{=I_n}-2n\underbrace{\int\limits_0^1\left(\frac{1}{(1+x^2)^{n+1}}\right)dx}_{=I_{n+1}}$$$$\phantom{I_n}=\frac{1}{2^n}+2nI_n-2nI_{n+1}$$Diese Gleichung stellen wir nach \(I_{n+1}\) um:$$2n\,I_{n+1}=\frac{1}{2^n}+(2n-1)\,I_n$$$$I_{n+1}=\frac{1}{n2^{n+1}}+\left(1-\frac{1}{2n}\right)\,I_n\quad;\quad I_1=\frac\pi4$$
