Zeigen Sie, dass für alle z∈ℂ gilt:|z| <=|Re(z)|+|Im(z)|

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle z∈ℂ gilt:

|z|≤|Re(z)|+|Im(z)|

Problem/Ansatz:

Also ich verstehe schon, was ich zeigen soll. Das beim Muster z= |a+ib| das Ganze gleich |a|+|ib| ist und für |a-ib| kleiner als |a|+|ib| ist, was mir an sich auch logisch erscheint aber ich weiß nicht, wie ich das genau aufschreiben soll.

Danke schonmal im Voraus.

Answer 1

\(\begin{aligned}\left|z\right|^2 &= \Re(z)^2 + \Im(z)^2\\(\left|\Re(z)\right|+\left|\Im(z)\right|)^2&=\Re(z)^2 + 2\left|\Re(z)\right|\cdot\left|\Im(z)\right| + \Im(z)^2\end{aligned}\)

Answer 2

Ich gehe davon aus, dass die Dreiecksungleichung schon bekannt ist:

$$z,w\in \mathbb C \Rightarrow |z+w| \leq |z| + |w|$$

Jetzt wendest du das einfach nur an:

$$|z| = |Re(z) +i Im(z)| \leq |Re(z)| + |iIm(z)| = |Re(z)| + |Im(z)|$$