Wie zeige ich das die Folge eine Cauchyfolge ist?

Question

Aufgabe:

Die Folge (x_n)_n∈N ist rekursiv definiert durch:

x₁=1;  x_n+1= 1/(1+x_n) ; n ≥ 1

(a) Zeigen Sie, dass es ein q ∈]0, 1[ gibt, sodass für alle n ≥ 2 gilt:
                                                                                                             |x_n+1 − x_n| < q · |x_n − x_n-1|

(b) Folgern Sie aus (a), dass (x_n)_n∈ℕ  eine Cauchyfolge ist.

Problem/Ansatz:

ich habe die a) bereits gezeigt aber habe Probleme bei der b) , wäre nett wenn mir jemand helfen würde.

Gruß

Comments

Tipp: Zeige zunächst, dass \(x_n\ge\frac12\) für alle \(n\) ist. Damit gilt dann$$\begin{aligned}\lvert x_{n+1}-x_n\rvert&=\left\lvert\frac1{1+x_n}-\frac1{1+x_{n-1}}\right\rvert\\&=\left\lvert\frac{(1+x_{n-1})-(1+x_n)}{(1+x_n)\cdot(1+x_{n-1})}\right\rvert\\&=\left\lvert\frac{x_{n-1}-x_n}{(1+x_n)\cdot(1+x_{n-1})}\right\rvert\\&\le\tfrac49\cdot\lvert x_n-x_{n-1}\rvert.\end{aligned}$$

Answer 1

Zu b):

Aus \(|x_{n+1}-x_n|\leq q\cdot |x_n-x_{n-1}|\) kann man per Induktion schließen:

\(|x_{n+k}-x_{n+k-1}| \leq q^{k-1}\cdot |x_{n+1}-x_n|\) für nat. \(k\geq 1\).

Hieraus ergibt sich

\(|x_{n+k}-x_n|=|x_{n+k}-x_{n+k-1}+x_{n+k-1}-x_{n+k-2}+- ... +x_{n+1}-x_n|\leq\)

\(|x_{n+k}-x_{n+k-1}|+|x_{n+k-1}-x_{n+k-2}|+ ...  +|x_{n+1}-x_n|\leq \)

\(q^{k-1}|x_{n+1}-x_n|+\cdots q|x_{n+1}-x_n|+|x_{n+1}-x_n|=\)

\(=(q^{k-1}+ \cdots + q + 1)\cdot |x_{n+1}-x_n|\leq\)

\(\frac {1}{1-q}\cdot |x_{n+1}-x_n|\leq \frac{1}{1-q}q^{n-1}|x_2-x_1|\to 0\) für \(n\to \infty\).

Daher ist \((x_n)\) eine Cauchy-Folge.