Diagonalisieren Sie die Matrix A und bestimmen Sie über Eigenwerte eine Diagonalmatrix.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 1 (Diagonalisierung der Matrizen) Diagonalisieren Sie die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 2 & 5\end{array}\right) \), d.h. bestimmen Sie mit Hilfe der Eigenwerte \( \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=7 \) und der Eigenvektoren \( \vec{x}_{1}=t\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right), \vec{x}_{2}=t\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) \) eine Diagonalmatrix \( \Lambda \) und die Matrizen \( S \) und \( S^{-1} \) so, dass \( A=S \cdot \Lambda \cdot S^{-1} \) gilt.
Überprüfen Sie anschließend Ihr Ergebnis durch Berechnung von \( S \cdot \Lambda \cdot S^{-1} \).

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Comments

Hallo

du sagst, das seien Prüfungsvorbereitungen? Warum schreibst du dann nicht deine Versuche auf und sagst genauer, was du nicht kannst. Wie können dir bei der Vorbereitung fertige Lösungen helfen? (dafür hast du ja die Übungen?)

lul

Answer 1

$$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{10} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1^{10} & 0 \\ 0 & 7^{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$$