Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitzen so, dass die zugehörigen Pyramiden jeweils die Höhe 10 haben.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A (3; 4; 5), B (S; 6:6) und C(8; 6; 6) in einem kartesischen Koordinatensystem.
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten von D so, dass die Punkte A, B, C, D Eckpunkte eines Rhombus sind.
M ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Rhombus ABCD. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes M.
b) Die Gerade g durch den Diagonalenschnittpunkt M und mit dem Richtungsvektor [0,1,-2] steht
senkrecht auf dem Rhombus ABCD.
Das Rhombus ist Grundfläche von Pyramiden, deren Spitzen auf g liegen.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitzen so, dass die zugehörigen Pyramiden jeweils die Höhe 10 haben.

Problem/Ansatz:

Aufgabe a konnte ich lösen, jedoch fehlt mir bei b der Ansatz und die Lösung.

Comments

Was soll B sein - eine Gerade?

Answer 1

Die Spitzen müssen in einer der beiden Ebenen liegen, die zur Rhombus-Ebene im Abstand 10 verlaufen. Es gibt also zwei Lösungen.

Comments

Warum gibt es zwei Ebenen mit Abstand 10? Dachte es gebe nur eine…

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Nein. Zu der rot markierten Ebene gibt es zwei Ebenen mit dem Abstand 10:

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Eine "darüber", eine "darunter".

Du kanst den Richtungsvektor, der auch Normalenvektor der Ebene ist, mit einer positiven oder einer negativen Zahl multiplizieren.

Answer 2

Gegeben sind die Punkte A (3; 4; 5), B (S; 6:6) und C(8; 6; 6) in einem kartesischen Koordinatensystem.
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Das kann man allgemein für jedes S nicht zeigen. Sollte S=5 gemeint sein, dann ist \( \vec{AB} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{BC} \) =\( \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} \). Dann haben beide die Länge 3 und die Gleichschenkligkeit von ABC ist nachgewiesen.

Bestimmen Sie die Koordinaten von D so, dass die Punkte A, B, C, D Eckpunkte eines Rhombus sind.

Dann muss gelten \( \vec{=0A} \) - \( \vec{BC} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\4\\5 \end{pmatrix} \). Die Koordinaten von D sind also (0|4|5).

M ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Rhombus ABCD. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes M.

M muss also auch die Mitte der Strecke AB sein: M(4|5|5,5).