Gesetz der großen Zahlen / Tschebyscheffsche Ungleichung.

Question

Hallo, ich habe folgende Aufgabe, bei der ich leider nicht weiter weiß.

Würde mich freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

Aufgabe Gesetz der großen Zahlen / Tschebyscheffsche Ungleichung
a)

Man ziehe (mit Zurücklegen) im Folgenden n-mal zufällig eine Zahl aus {1, . . . , m}, m ∈
ℕ_>0. Das arithmetrische Mittel der gezogenen Zahlen S_n bei n Ziehungen konvergiert
gegen den theoretischen Mittelwert µ. Wie groß muss die Zahl der Wiederholungen sein,
damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% gesichert ist, dass das arithmetische Mittel
S_n in einer Umgebung von |S_n − µ| = 0, 5 = ϵ um den Erwartungswert µ liegt?

b)

Eine Münze wird wiederholt geworfen. Nach dem Gesetz der großen Zahlen konvergiert
die relative Häufigkeit der Seite Kopf (= Ereignis A) gegen die Wahrscheinlichkeit

P(A) = p = 0, 5. Wie oft muss die Münze geworfen werden, damit die relative Häufigkeit mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 96% in der ϵ-Umgebung (0, 49; 0, 51) liegen wird?

Comments

a) Schreib dir erstmal auf, was die Aussage in deinem Text ist also P(|Sn-μ|≤ϵ) ≥ 98%

Jetzt beginnst du den Ausdruck so umzuformen, dass du die Tschebyscheff Ungleichung anwenden kannst. Dafür Gegenwahrscheinlichkeit bilden, umstellen etc.

b) Gleiche Prinzip nur dass du jetzt P(0.49|≤|Sn/n-0.5|≤0.51) ≥ 96% vorliegen hast und unteranderem mit n die Ungleichung multiplizieren musst. Dann wirst du sehen, dass du es auch wieder auf die Form bringen kannst

Answer 1

a) Schreib dir erstmal auf, was die Aussage in deinem Text ist also P(|Sn-μ|≤ϵ) ≥ 98%

Jetzt beginnst du den Ausdruck so umzuformen, dass du die Tschebyscheff Ungleichung anwenden kannst. Dafür Gegenwahrscheinlichkeit bilden, umstellen etc.

b) Gleiche Prinzip nur dass du jetzt P(0.49|≤|Sn/n-0.5|≤0.51) ≥ 96% vorliegen hast und unteranderem mit n die Ungleichung multiplizieren musst. Dann wirst du sehen, dass du es auch wieder auf die Form bringen kannst

Comments

Hallo, danke für deine Antwort. Ich verstehe leider nicht genau wie die Tschebyscheff Ungleichung funktioniert und was ich tun muss. Kannst du mir das bitte anhand von der a) erklären damit ich mich danach an der b) versuchen kann?

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Aber P(|Sn-μ|≤ϵ) ≥ 98% hat noch nicht die gewünschte Form da wir ≤ϵ anstatt ≥ϵ haben. Somit brauchen wir die Gegenwahrscheinlichkeit 1- P(|Sn-μ|≤ϵ) = P(|Sn-μ|>ϵ)≤ P(|Sn-μ|≥0, 5)  ≤ 1-98%. Damit muss mit der Ungleichung gelten: 1/eps^2 VarX ≤ 2%. Gut und jetzt musst du nur noch epsilon einsetzten und die Varianz kennen. Die Varianz von einer diskreten Gleichverteilung kennst du oder kannst du im Internet nachschauen. Dann musst du nur noch nach n umstellen.

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Vielen Dank, die Varianz müsste laut Wikipedia \( \frac{m^{2}-1}{12} \) sein. In unserem Fall allerdings noch mal n, da wir ja n-mal ziehen.

Somit also \( \frac{1}{0.5^{2}} \) · (n · \( \frac{m^{2}-1}{12} \)) ≤ 0.02.

Nach n umgestellt n ≤ \( \frac{3}{50(m^{2}-1)} \)

Hoffentlich hab ich keinen Fehler gemacht.

Mir fällt es allerdings schwer nun das Ergebnis zu interpretieren, n wäre ja dann immer kleiner als 1

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Mir ist aufgefallen, dass Sn das arithmetische Mittel sein soll, deswegen musst du noch hier 1- P(|n*Sn-μ|≤n*ϵ) einbauen und damit 1/(eps^2*n^2)......≤ 2% damit kürzt sich das n raus und ein n steht nur noch im Nenner sodass dann auch was sinnvolles rauskommt

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Dann müsste \( \frac{50(m^{2}-1)}{3} \) ≤ n rauskommen, oder ?

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Genau :)........

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Okay, vielen Dank. Wie mach ich das denn bei der b) da hab ich ja wie du auch geschrieben hast dann P(0.49≤|Sn/n-0.5|≤0.51) ≥ 96%. Aber wieso steht jetzt hier Sn/n und wie gehe ich vor wenn ich hier jetzt zwei ε habe? Das verstehe ich gerade nicht so genau

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Die relativen Häufigkeit sind X1+... +Xn/n. Sn ist da eine blöde Bezeichnung. Deshalb Ansatz P(0.49≤|X1+... +Xn/n-0.5|≤0.51) ≥ 96%. Können wir aufteilen in P(|X1+... +Xn/n-0.5|≤0.51)-P(|X1+... +Xn/n-0.5|<0.49)=1-P(|X1+... +Xn/n-0.5|>0.51) - (1-P(|X1+... +Xn/n-0.5|≥0.49)) =P(|X1+... +Xn/n-0.5|≥0.49))-P(|X1+... +Xn/n-0.5|>0.51)

Soo bevor du das abschätzt musst du da noch auf die Form für die T. - Ungleichung bringen. Wie machst du das?

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Stop.... Ich habe dir den falschen Ansatz geliefert. Weil ich wieder mal nicht richtig gelesen habe. Denn in der Aufgabe steht; Die relative Häufigkeit soll in einem bestimmten Bereich sein und nicht der Abstand von Häufigkeit und tatsächlicher Wahrscheinlichkeit. Demnach gilt:

P(0.49≤|X1+... +Xn/n|≤0.51) ≥ 96%. All right, damit wir T. Ungleichung anwenden können müssen wir nun noch - 0,5 in den Betrag bekommen und wie macht man das. Naja,

P(0.49≤|X1+... +Xn/n|≤0.51)=P(0.49≤|X1+... +Xn/n-0.5|≤0.01), denn 0.51-0.5=0.5-0.49=0.01

Und von da aus musst du nur wieder passend umformen.

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Okay danke, aber wieso steht da Xn/n ? Und wie genau gehe ich jetzt vor?

Einfach jetzt wieder Tschebyscheff Ungleichung, also

P(0.49≤|X1+... +Xn/n-0.5|≤0.01) ≤ \( \frac{1}{ε^{2}} \) Var(X) ?

Und dann ε und Var(X) einsetzen?
Was wäre denn dann unser ε? 0,49? Und was wäre die Varianz?

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Erstmal Xn ist X Index unten n gemeint :) also das Ergebnis im n-ten Zug. P(0.49≤|X1+... +Xn/n|≤0.51)=P(|X1+... +Xn/n-0.5|≤0.01)

Hatte ausversehen die 0.49 mitkopiert. Auf den letzten Ausdruck kannst du dann T. - Ungleichung, wenn du ihn umgeformt hast, anwenden.

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Okay, vielen Dank. Eine letzte Frage noch was ist denn hier bei der b) die Varianz?

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Das kommt drauf an: Hast du mit n im Betrag multipliziert? Dann nimmst du die Varianz von X1+... +Xn und damit hast du Var(X1) +.... +Var(Xn) und da die Varianz über all die gleiche ist n*p(1-p)

Falls du es ohne das n multiplizieren gemacht hast Var(X1+.... +Xn/n) =1/n *(Var(X1) +... +Var(Xn)) =n/n p(1-p)=p(1-p)

In beiden Fällen solltest du bei der Abschätzung mit Tscheb. Das gleiche erhalten, nämlich dass ein n wieder im Nenner steht :)

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Wie meinst du das? Ich habe es so gemacht wie du es oben geschrieben hast.

P(|X1+... +Xn/n-0.5|≤0.01) und dann Gegenwahrscheinluchkeit damit es die richtige Form hat

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Dann brauchst du die Varianz von X1+... +Xn/n :)

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Okay, aber wie kommst du darauf, dass ein n im Nenner steht? Ich habe dann doch

\( \frac{Var(X1+...+Xn/n)}{ε^{2}} \) also

\( \frac{p(1-p)}{0.01^{2}} \).

Oder habe ich jetzt etwas falsch gemacht?

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Weil ich den Fehler gemacht habe und anstatt 1/n^2, 1/n aus der Varianz ausgezogen habe :)

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Jetzt bin ich verwirrt. Wie ist es denn jetzt richtig?

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Var(X1+.... +Xn/n) =1/n^2 *(Var(X1) +... +Var(Xn)) =n/n^2 p(1-p)=1/n*. p(1-p)

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Dann müsste ich 1000000 ≥ n bekommen, oder? Erscheint mir aber irgendwie ziemlich viel

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Also bei mir kommt 0,5*0,5/0,01^2 *0,04 = 62500 :)

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Kannst du mal bitte zeigen wie du gerechnet hast?

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p(1-p)/(eps^2 *n) <= 0,04 einfach eingesetzt und nach n umgestellt

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Also ich hatte es jetzt so. Wo ist denn mein Fehler?

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P(0.49|≤|Sn/n-0.5|≤0.51) ≥ 96% . Das ist dein Fehler. Du hast <=.

Zweiter Fehler Wie kommst du darauf, dass bei der Varianz p(1-p) im Nenner steht? Das ist falsch.

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Den ersten Fehler hab ich wohl irgendwie übersehen. Aber wie sich der zweite eingeschlichen hat, keine Ahnung. Vielen Dank, dass du dir so viel Zeit genommen hast

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Gerne :) Ich hoffe du hast so ungefähr verstanden, wie das Prinzip dieser Aufgaben aussieht.