Zeigen Sie, dass für die folgende Funktion die Laplace-Gleichung gelöst wird

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für die folgende Funktion \( f: \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \) die Laplace-Gleichung \( \Delta f=0 \) auf \( \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \) gelöst wird:
\( n=2, f(x)=\log \left(\|x\|_{2}\right) \).

Problem/Ansatz:

Wie ist hierbei vorzugehen?

Answer 1

Aloha :)

Da \((n=2)\) vorgegeben ist, kannst du das zu Fuß ausrechnen:$$f(x;y)=\ln(\sqrt{x^2+y^2})\quad\implies$$$$\small\Delta f(x;y)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\underbrace{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}}_{\text{innere Abl.}}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\underbrace{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}}_{\text{innere Abl.}}\right)$$$$\phantom{\Delta f(x;y)}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)$$$$\phantom{\Delta f(x;y)}=\frac{1\cdot(x^2+y^2)-x\cdot2x}{(x^2+y^2)^2}+\frac{1\cdot(x^2+y^2)-y\cdot2y}{(x^2+y^2)^2}$$$$\phantom{\Delta f(x;y)}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=0$$