Normalapproximation. Ist \(X\) binomialverteilt mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\), dann ist
\(P(x_1\leq X \leq x_2) \approx \Phi\left(\frac{x_2-\mu+0,5}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{x_1-\mu-0,5}{\sigma}\right)\)
falls \(\sigma \geq 3\) ist. Dabei ist \(\Phi\) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Aus früheren Versuchen weiß man, dass dies nur bei 50% der Tiere gelingt.
Bei einem Tier gelingt das Lernen, oder es gelingt nicht. Das Trainieren eines Tieres ist also ein Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=50\%\).
Wir trainieren 125/0.50= 250 Tiere.
Der Bernoulli-Versich wird mehrmals durchgeführt. Es wird angenommen, dass diese Durchführungen unabhängig voneinander sind. Es liegt deshalb eine Bernoulli-Kette der Länge \(n=250\) vor.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 125 Tiere die Aufgabe erlernen?
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gewisse Anzahl \(X\) von Erfolgen in der Bernoulli-Kette. Diese ist binomialverteilt. Dabei ist
\(\mu = n\cdot p = 250\cdot 0,5=125\)
und
\(\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{250\cdot 0,5\cdot 0,5}=\sqrt{62,5}\).
Laut Normalapproximation ist somit
\(\begin{aligned}&P(X\geq 125)\\ =\ & P(125 \leq X\leq 250)\\\approx\ &\Phi\left(\frac{250-125+0,5}{\sqrt{62,5}}\right) - \Phi\left(\frac{125-125-0,5}{\sqrt{62,5}}\right)\end{aligned}\).
b) Wie viele Tiere müssen trainiert werden, um zu 99.0% sicher zu sein, dass mindestens 125 Tiere die Aufgabe erlernen?
\(\begin{aligned} P\left(X\geq125\right) & =0,99\\ P\left(X\leq124\right) & =1-0.99\\ \Phi\left(\frac{124-n\cdot0,5+0,5}{\sqrt{62,5}}\right) & =0,01\\ \frac{124-n\cdot0,5+0,5}{\sqrt{62,5}} & \approx-2,3263\\ n & \approx286 \end{aligned}\)
verwende im Nenner aber die Näherung √(N&p*(1-p)) mit dem Wert N= 250 aus vorheriger Aufgabe
Eigentlich darf man nicht 250 für N einsetzen, sondern als Variable belassen. Ich vermute der Dozent wollte euch die dadurch notwendigen Gleichungsumformungen nicht zumuten. Man würde dann zu N = 289 kommen.
