Aufgabe:
Betrachten Sie die Kubik y2=f(x)=x3+bx+1, wobei b∈ℤ ungerade sei. Zeigen Sie, dass E(ℚ) unendlich viele Punkte besitzt. Gehen Sie wie folgt vor:
a) Begründen Sie, warum aus der Existenz eines Punktes P ∈ E(ℚ)\E(ℚ)tors folgt, dass E(ℚ) unendlich viele Elemente hat. Also ist der Rang r von E(ℚ) im Satz von Mordell mindestens 1.
Zeigen Sie folgendermaßen, dass P = (0,1) ∈ E(ℚ) kein Torsionspunkt ist: Falls P ein Torsionspunkt ist, so ist auch 2P ein Torsionspunkt. Nehmen Sie also an, dass dies der Fall ist, und führen es zu einem Widerspruch.
b) Begründen Sie, warum 2P ungleich OE ist.
c) Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes 2P explizit. Folgern Sie mithilfe des Satzes von Nagell-Lutz, dass b gerade ist.
Ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen. Bei der a) bin ich noch ziemlich verloren, da habe ich mir nur aufgeschrieben, dass E(ℚ)=E(ℚ)tors ⊕ ℤr
Bei der b) habe ich gefolgert, dass 2P ungleich OE ist, weil P ungleich -P. Bin mir aber unsicher, ob das reicht oder ob man noch zeigen muss, dass auch P ungleich OE ist.
Bei der c habe ich die Formel von x(2P) angewendet und kam auf x(2P) = 0,25b2. Allerdings weiß ich dann nicht, wie ich begründen soll, dass b gerade sein muss. Habe versucht es mit der Diskriminante zu begründen, aber kam nicht wirklich weit.
