Wie lässt sich eine Rekursionsformel für die Determinante finden?

Question

Aufgabe:

\( \begin{pmatrix} k & -1  \\ -1 & k & -1\\  & -1 & k & -1 \\  &  & -1 & k & -1  \end{pmatrix} \) und sonst alles 0 usw.

sei n ∈ ℕ und k ∈ ℝ Matrix(n,ℝ)

gesucht ist eine Rekursionsformel für die Determinante mit d_l,k  =det(A_l,k) für 0≤ l ≤n

Problem/Ansatz:

Entwicklungssatz, Induktion?

Comments

Muss die letzte Zeile nicht

\((0\;\cdots \;0\;-1\; k)\) lauten ?

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Ja stimmt dazwischen wird aber das vorherige Muster fortgesetzt

Answer 1

Hallo,

Die gesuchte Rekursion ist wahrscheinlich$$\det(A_{l,k}) = k \cdot \det(A_{l-1,k}) - \det(A_{l-2,k}) \quad \quad A_{l,k} \in \mathbb{R}^{l\times l}\\ \det(A_{1,k}) = k \\ \det(A_{2,k}) = k^2-1$$

Comments

Wie würde es weitergehen und wie kommt man drauf?

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Wie würde es weitergehen ..

Was meinst Du mit 'weitergehen'? Das ist eine Rekursionsformel! Wenn Du den Beweis mit Induktion meinst, versuche es doch selber mal. Sonst melde ich mich heute Abend nochmal.

... und wie kommt man drauf?

intelligentes Probieren ;-)

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Kann Werner-Salomons Lösung bestätigen !

Habe zunächst nach der ersten Spalte entwickelt und die dabei

entstehende zur -1 gehörige Determinante nach der ersten Zeile

entwickelt.

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Wie würde es mit Induktion gehen?

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det(A3) = k^3-2k

det(A4) = k^4-3k^2+1

Lässt sich dies als Summe in Abhängigkeit von l darstellen ohne det?