Verteilung von Ehepaar-Einkommen

Question

Aufgabe:

Eine Studie über das Einkommensverhältnis zwischen Männer und Frauen aus den Ehepaaren, bei denen beide Ehegatten berufstätig sind, wurde in einer amerikanischen Stadt vorgenommen. Sei \( X \) das monatliche Einkommen der Frau und \( Y \) das monatliche Einkommen des Mannes, für ein in dieser Stadt zufällig gezogenes beruftstätiges Ehepaar. Die Schlussfolgerungen der Studie sind wie folgt:

- \( \mathrm{E}(X)=2100 \$ ; \sqrt{\operatorname{Var}(X)}=600 \$ \);
- \( \mathrm{E}(Y)=2400 \$ ; \sqrt{\operatorname{Var}(Y)}=1000 \$ \);
\( \rho(X, Y)=0.85 \)

Man interessiert sich jetzt für die Summe \( S:=X+Y \) und die Differenz \( D:=Y-X \) der Einkommen.

1. Berechnen Sie \( \mathbb{E}(S), \mathbb{E}(D), \sqrt{\operatorname{Var}(S)} \) und \( \sqrt{\operatorname{Var}(D)} \).

2. Berechnen Sie die Korrelationskoeffizienten \( \rho(X, D), \rho(Y, D) \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Es ist

      \(\mathbb{E}(\alpha A+\beta B) = \alpha\mathbb{E}(A) + \beta\mathbb{E}(B)\)

für alle Zufallsvariablen \(A\), \(B\) und alle \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\). Verwende das um \(\mathbb{E}(S)\) und \(\mathbb{E}(D)\) zu berechnen.

Es ist

        \(\operatorname{Var}(A+B) = \operatorname{Var}(A) + \operatorname{Var}(B) + 2\operatorname{Cov}(A,B)\)

und

        \(\rho(A,B) = \frac{\operatorname{Cov}(A,B)}{\sqrt{\operatorname{Var}(A)}\sqrt{\operatorname{Var}(B)}}\).

für alle Zufallsvariablen \(A\), \(B\). Verwende das um \(\operatorname{Var}(S)\) und \(\operatorname{Var}(D)\) zu berechnen.