Für welche Funktion f ist das Zentralfeld auch quellenfrei?

Question

Aufgabe:

Hallo

Habe bzgl folgender Aufgabe einer Frage zur genauen Notation:

Sei f : (0,oo) → R eine beliebige stetig diffbare Funktion. Dann heisst das Vektorfeld

\( \vec{v} \)  : R^3 \ {0} → R^3 mit \( \vec{v} \)(\( \vec{x} \)) := ein Zentralfeld.

a) Zeigen Sie, dass ein Zentralfeld immer wirbelfrei ist, d.h.    rot \( \vec{v} \) = 0

b) Für welche Funktion f ist das Zentralfeld \( \vec{v} \) auch quellenfrei, d.h. div \( \vec{v} \) = 0 ? Finden Sie ein Beispiel mit einer geeigneten nichtkonstanten Funktion f?

Frage bezieht sich auf b) und zwar, ob man \( \vec{v} \) (\( \vec{x} \)) umschreiben kann:

sodass \( \vec{v} \) (\( \vec{x} \)) = f(r) e_r                           e_r     ist Vektor der in radiale Richtung zeigt.

wie gesagt komme bei der Aufgabe b) einfach nicht voran und hoffe ihr habt Tipps

LG

Comments

Da fehlt was in der Zeile \(\vec v:....\).

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Die Aufgabe ist sehr unvollständig, keine Def von Zentralfeld? was hat f mit v zu tun?

lul

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\( \vec{v} \)(\( \vec{x} \)) : = \( \vec{x} \) / | \( \vec{x} \) | * f(\( \vec{x} \))

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Oder eher... f(|x|) ?

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ja genau....

Text erkannt:

8. Hausaufgabenblatt
1. Aufgabe: Das Zentralfeld
Sei \( f:] 0, \infty[\rightarrow \mathbb{R} \) eine beliebige stetig differenzierbare Funktion. Dann heißt das Vektorfeld
\( \vec{v}: \mathbb{R}^{3} \backslash\{\overrightarrow{0}\} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \( \vec{v}(\vec{x}):=\frac{\vec{x}}{\|\vec{x}\|} f(\|\vec{x}\|) \) ein Zentralfeld.
a) Zeigen Sie, dass ein Zentralfeld immer wirbelfrei ist, d.h. \( \vec{\nabla} \times \vec{v}=\overrightarrow{0} \).
b) Für welche Funktionen \( f \) ist das Zentralfeld \( \vec{v} \) auch quellenfrei, d.h. \( \vec{\nabla} \cdot \vec{v}=0 \) ? Finden
Sie ein Beispiel mit einer geeigneten nichtkonstanten Funktion \( f \).
2. Aufgabe: Totale Differenzierbarkeit
a) Betrachten Sie eine Funktion \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) mit der Eigenschaft \( |f(\vec{x})| \leq\|\vec{x}\|^{2} \). Zeigen
Sie, dass die Funktion \( f \) in \( \overrightarrow{0} \in \mathbb{R}^{n} \) total differenzierbar ist und finden Sie \( d f(\overrightarrow{0}) \).

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Hallo

was hindert dich rot v und div v einfach zu bestimmen?

Sag genauer. was du an der aufgabe kannst bzw. nicht kannst.

f(r)*\( \vec{e_r} \) ist richtig

lul

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eine nichtkonstante Funktion f ist nicht ersichtich, bzw ihre Herleitung.

Text erkannt:

b)
\( \begin{array}{l} \vec{\nabla} \cdot \vec{v}=0=d w v=\frac{\partial v_{1}}{\partial x}+\frac{\partial v_{2}}{\partial y}+\frac{\partial v_{3}}{\partial z} \\ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x \hat{z_{2}} \\ -2 y \\ z \end{array}\right) \Rightarrow \underline{0} \\ \Rightarrow 1-2+1=0 . \end{array} \)

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kann mir nicht wirklich vorstellen was f bedeuten soll. weil es "zusammen mit e_r ein Vektorfeld darstellen soll!"

f(r)*e_r

und wie man f bestimmen kann

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Probier doch irgendein f aus, dann verstehst Du die Schreibweisen sofort. "Finden" deutet darauf hin, dass es nicht eindeutig berechnet werden kann. Also, Probieren ist angesagt. Außerdem ist das "Finden" ja als Frage formuliert.

Answer 1

Aloha :)

Da \(\vec v(\vec r)\) ein Zentralfeld ist, gilt: \(\;\operatorname{rot}\vec v(\vec r)=\vec 0\).

Daher existiert ein Skalarfeld \(\phi(\vec r)\), das "Potential" genannt wird, mit \(\;\vec v(\vec r)=\operatorname{grad}\phi(\vec r)\).

In den wichtigen (weil von der Natur bevorzugten) Fällen hängt dieses Potential \(\phi\) nur vom Betrag \(r=\|\vec r\|\) der Entfernung \(\vec r\) zum Kraftzentrum ab, d.h. \(\;\phi(\vec r)=\phi(r)\).

Wenn ein Skalarfeld \(\phi(r)\) nur vom Betrag des Vektors \(\vec r\) abhängt, gilt für dessen Gradient:$$\operatorname{grad}\phi(r)=\phi'(r)\cdot\vec e_r$$

Langer Rede kurzer Sinn: Wenn das Potential \(\phi(r)\) nur vom Betrag des Abstandes zum Kraftzentrum abhängt, kannst du das Zentralfeld \(\vec v(\vec r)\) in der folgenden Form schreiben:$$\vec v(\vec r)=\phi'(r)\cdot\vec e_r$$

Wenn du davon die Divergenz bestimmst, sollte Null herauskommen ;)

Comments

Hallo

es bleibt unverständlich wie man das Vektorfeld v darstellen kann.

Wäre es denn so möglich: ( dann wäre es viel einfacher den Gradienten zu bilden)

Text erkannt:

\( \leftarrow \bigcirc \) 迥 hitps://miro.com/app/board/uXgMMr5WrKE=/
(b)

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dann könnte man so weiter verfahrenEs wäre mir wichtig die Lösung Schritt für Schritt zu kennen, damit ich diese abgeben kann, denn wenn ich diese Teilaufgabe richtig habe bin ich zur Klausur zugelassen...

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Wenn \(\operatorname{rot}(\vec v)=\vec 0\) ist, kannst du das Vektorfeld \(v\) in der folgenden Form schreiben:$$\vec v=\operatorname{grad}(\phi)=\phi'(r)\cdot\vec e_r$$oder wie du es getan hast:$$\vec v=f(r)\cdot\vec r\quad\text{mit}\quad f(r)=\frac{\phi'(r)}{r}$$

Das Potential \(\phi(\vec r)\) findest du durch Integration:$$\int\vec v\,d\vec r=\int\operatorname{grad}(\phi)\,d\vec r=\int\frac{\partial\phi}{\partial\vec r}\,d\vec r=\int d\phi=\phi(\vec r)+\text{const}$$

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Danke für die Hilfe . Also kann man das oben als lösung abgeben oder?

Answer 2

Hallo

wie du a) gelöst hast ist nicht zu sehen, Ein Zentralfeld, Gravitations Feld und Coulomb Feld kennst du doch? also hast du ein einfaches Beispiel.

f(r)er bedeutet einfach dass das Feld  immer in Richtung des Vektors r zeigt also in Richtung eines Radius, und dabei nur von der Entfernung abhängt, also auf allen Kugeln um den = Punkt denselben Betrag hat.

die funktion, die du für div v=0 angibt ist aber nicht nur vom Abstand abhängig also keinZentralfeld.

Gruß lul

Comments

hey guter Tipp.

Blöde Frage

könnte ich das Gravitationsfeld folgendermaßen notieren:

Text erkannt:

\( \vec{v}(\vec{r})=\frac{\operatorname{Gm} M}{r^{2}} e r \)
Sialt:
\( g_{m M} \)
\( \begin{aligned} \operatorname{div} \vec{v} & =\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \mathbb{\theta}_{r}\right) \\ & =0 \end{aligned} \)

Was wäre dann f hier? etwa f = GmM/r^2 ? also ohne e_r ?

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Hallo

ja dein f(r) ist richtig, aber div =0  ist falsch.

Gruß lul

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wie wäre es hiermit

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}f(r)=\frac{1}{r^{2}} \text { mid } \vec{v}(r)=\frac{1}{r^{2}}-r \\ d i \vec{v}=\frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial r} \cdot\left(r^{2} v_{r}\right)=\frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{2}{\partial r}(\underbrace{r^{2} \cdot \frac{1}{r^{2}}}) \\ =\frac{1}{r^{2}} \cdot \underbrace{\left.\frac{\partial}{\partial r} \cdot 1\right)}_{0}=0\end{array} \)

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Hallo

wie kommst du denn auf diese Formel für div, insbesondere auf d/dr(r^2vr)?

Das Gravitationsfeld ist NICHT quellfrei!

das Gravitationsfeld hatte ich dir nur genannt, weil du sagtest f(r)e_r kannst du dir nicht vorstellen.

Gruß  lul

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Das ist die Divergenz für Kugelkoordinaten.

Sag mir mal bitte welche Divergenz ich nehmen soll, damit ich damit arbeiten kann...

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Hallo

du hattest recht und ich war falsch, sorry

lul

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Also kann ich diese Lösung übernehmen für f? Falls ja dann kann ich das komplette Aufgabenblatt endlich abschliessen

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? oder ist es für f doch falsch ...mir fällt momentan leider nichts besseres ein