Liegt hier ein Muster oder ein Zusammenhang vor, es ist ja eine sehr ähnliche Aussage?

Question

Mir ist etwas aufgefallen. Und zwar gehe ich gerade Homomorphismen durch und in der Vorlesung wird gesagt, dass wenn nur der Nullvektor ein Element vom Kern des Homomorphimus ist, dann ist der Homomorphismus injektiv.

Da ist mir aufgefallen, dass beim Thema lineare Unabhängigkeit gesagt wurde, dass wenn der Nullvektor nur auf die triviale Art und Weise erzeugt werden kann (also eine lineare Unabhängigkeit vorliegt), dann gilt für jeden Linearfaktor v und v', dass wenn v und v' gleich sind, auch die entsprechenden Koeffizienten gleich sein müssen, mit welchem die Linearfaktoren erzeugt wurden. Bzw. wenn man hier eine Abbildung für die Erzeugung von Linearfaktoren definiert, dann wäre diese auch injektiv.

Liegt hier ein Muster oder ein Zusammenhang vor, es ist ja eine sehr ähnliche Aussage?

Answer 1

Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum und \(M = \{v_1,\dots,v_n\}\subseteq V\) mit \(|M| = n\).

Dann ist die Abbildung

        \(\displaystyle\varphi:\ K^n\to V,\begin{pmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix}\mapsto\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i\)

genau dann injektiv, wenn \(M\) linear unabhängig ist.