Nullstellen eines Polynoms berechnen, doppelte Nullstelle vorhanden

Question

Aufgabe:

Das Polynom y=x⁵+6⋅x⁴−30⋅x³−232⋅x²−195⋅x+450  hat fünf reelle Nullstellen. Eine doppelte Nullstelle ist x_N1=x_N2=−5 . Gib die restlichen drei Nullstellen an:

Problem/Ansatz:

Meine bisherige Vorgehensweise war es, mittels Polynomdivision ein neues Polynom und dann mit pq-Formel oder erneuter Polynomdivision die Nullstellen zu bekommen. Beim dividieren durch (x+5) und auch (x+5)² bleibt ein Rest. Jetzt wüsste ich keinen weiteren Ansatz.

vielen Dank für die Unterstützung!

Answer 1

Nachdem du den Linearfaktor (x+5) zweimal abgespalten hast, bleibt ein Term x³-4x²-15x+18 dessen Nullstelle x=1 du leicht erraten kannst. Auch den  Linearfaktor (x-1) abspalten und dann eine quadratischen Gleichung lösen.

Answer 2

Aloha ;)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Von dem Polynom$$y=x^5+6x^4-30x^3-232x^2-195x+450$$kennst du bereits die doppelte Nullstelle bei \((x=-5)\).

Alle ganzzahligen Nullstellen des Polynoms müssen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein, also von der \(450\). Dividieren wir diese \(450\) durch \((-5)^2\) bzw. durch \(25\), erhalten wir \(18\). Die Teiler von \(18\) lauten:$$\pm1\,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18$$Diese Kandidaten für ganzzahlige Nullstellen probieren wir durch Einsetzen in das Polynom aus und finden weitere Nullstellen bei:$$x=1\quad;\quad x=-3\quad;\quad x=6$$Mehr als 5 Nullstellen kann ein Polynom 5-ten Grades nicht haben. Also haben wir alle Nullstellen gefunden.