Beweis Folge von Funktionen

Question

Aufgabe:

Beweise oder wiederlege folgende Aufgabe:

Es sei fn: [a,b]->R eine Folge von differenzierbaren Funktionen, die gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, also lim n->∞ ||fn||=0

Dann gilt:  Für alle x∈[a,b]: lim n->∞ f‘n(x)=0

Comments

Betrachte folgenden Graphen :

Answer 1

Idee:

Man nehme eine Folge \(f_n\) periodischer Funktionen, deren Amplitude für \(n \to\infty\) gegen Null geht, aber deren Frequenz mit \(n\) schnell genug wächst. Zum Beispiel

$$f_n(x) = \frac 1n\sin (n\pi x) \text{ für } x\in[-1,1]$$

Offenbar konvergiert \(f_n\) gleichmäßig gegen die Nullfunktion:

\(f_n \stackrel{n\to\infty}{\Longrightarrow}0\)

Außerdem gilt

\(f_n^{\prime} (x) = \pi \cos (n\pi x)\)

Also insbesondere

\(f_n(0) = \pi \stackrel{n\to\infty}{\not \longrightarrow} 0\)