Lineare Abhängigkeit von Vektoren nach Länge ordnen

Question

Aufgabe:

Hallo, ich möchte folgende Aufgabe gerne lösen:

Text erkannt:

Gegeben sind die Vektoren
\( \vec{a}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right), \vec{c}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 8 \\ 4 \end{array}\right), \\ \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 0,5 \\ -2 \\ -1 \end{array}\right), \vec{e}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 12 \end{array}\right), \vec{f}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 10 \end{array}\right) \)
a) Ordnen Sie die Vektoren nach ihrer Länge.

(ich habe sie abfotografiert, weil ich die Vektoren sonst nicht formatieren kann)
1.)
a: Ordnen Sie die Vektoren nach ihrer Länge
b: Geben Sie begründet jeweils die Vektoren an, unter denen eine lineare Abhängigkeit besteht.
c: Auch drei Vektoren können linear abhängig sein. Dieses trifft z.B. für die Vektoren a, e und f zu. Stellen Sie eine Vermutung an, woran man das erkennt.

Problem/Ansatz:

Da ich mir das selber beibringen muss, es aber immer durch die Erklärungen und Hilfe hier verstehe und dann auf weitere Aufgaben anwenden kann, würde ich mich sehr über Hilfe freuen, damit ich das nachvollziehen kann.

Comments

https://www.schuelerhilfe.de/online-lernen/1-mathematik/717-laenge-eines-vektors

b) c ist das Zweifache von a, e das Dreifache von b, c das -4-Fache von d

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Guck mal hier:

https://www.gutefrage.net/frage/lineare-abhaengigkeit-vektoren-2

Answer 1

Aloha :)

Zur Berechnung der Länge eines Vektors, quadrierst du alle seine Komponenten, addierst diese Quadrate und ziehst danach die Wurzel aus der Summe:$$\left\|\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Damit erhalten wir:$$\|\vec a\|=\sqrt{21}$$$$\|\vec b\|=\sqrt{35}$$$$\|\vec c\|=\sqrt{84}$$$$\|\vec d\|=\sqrt{5,25}$$$$\|\vec e\|=\sqrt{149}$$$$\|\vec f\|=\sqrt{140}$$

Comments

Vielen lieben Dank für die Erklärung. Das hat mir sehr geholfen. Könnten Sie mir vielleicht erklären, wie ich begründen kann, unter welchen Vektoren eine lineare Abhängigkeit besteht?

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Bei Teil (b) sollst du die Vektoren paarweise auf lineare Abhängigkeit prüfen. Dazu kannst du prüfen, ob beide Vektoren bis auf einen konstanten Faktor gleich sind.

Wenn du alle Komponenten von Vektor \(\vec a\) verdoppelst, erhältst du Vektor \(\vec c\). Also sind \(\vec a\) und \(\vec c\) linear abhängig.

So kannst du alle Vektoren-Paare miteinander vergleichen und auf lineare Abhängigkeit hin überprüfen.

Answer 2

\( \vec{a} \) hat die Länge \( \sqrt{1^2+4^2+2^2} \)=\( \sqrt{21} \)

\( \vec{b} \) hat die Länge \( \sqrt{1^2+3^2+5^2} \)=\( \sqrt{35} \)

also ist \( \vec{a} \) kürzer als \( \vec{b} \). Also immer Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten bilden und vergleichen.

Comments

Vielen lieben Dank für die Erklärung. Das hat mir sehr geholfen. Könnten Sie mir vielleicht erklären, wie ich begründen kann, unter welchen Vektoren eine lineare Abhängigkeit besteht?

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zB. \( \vec{a} \) und \( \vec{c} \) sind linear abhängig, weil gilt: \( \vec{c} \) = 2· \( \vec{a} \).

Answer 3

Hallo

a) die Länge musst du schon ausrechnen, oder deren Quadrat, die Länge  l von (a,b,c) ist l^2=a^2+b^2+c^2, du sparst Zeit wenn du erst b) machst.

b) Vektoren die Vielfache voneinander sind sind linear abhängig, Beispiel : c=2*a damit ist c auch doppelt so lang wie a, die anderen findest du sicher selbst.

c) e+(-1)*a=f

allgemein wenn r*a+s*b*t*c=0 mit r,s,t nicht 0 sind 3 Vektoren abhängig,

Gruß lul