Doppelzählstrategie kann hier auch helfen:
Zählung 1:
Anzahl der n-stelligen Zahlen aus den Ziffern 1,2,3 mit genau q 3er:
$$\underbrace{\binom nq}_{\text{wähle q Plätze für die 3er}} \cdot \underbrace{2^{n-q}}_{\text{restl. Plätze 1er oder 2er}}$$
Zählung 2:
Anzahl der n-stelligen Zahlen aus den Ziffern 1,2,3 mit genau q 3er und k = 0,...,n-q 2er:
$$\underbrace{\binom{n}{k+q}}_{\text{wähle k+q Plätze für die q 3er und k 2er}}\cdot \underbrace{\binom{k+q}{q}}_{\text{wähle q Plätze für die 3er aus den k+q Plätzen für 2er und 3er}}$$
Nun Summieren von k=0..n-q.
Ergänzung wg. Kommentar
Zur "summarischen Lösung" - erweitere jeden Summanden mit \((n-q)!\):
$$ \sum\limits_{k=0}^{n-q}{\frac{n!}{q!\cdot k!\cdot(n-k-q)!}} = \sum\limits_{k=0}^{n-q}{ \frac{(n-q)!}{k!\cdot(n-k-q)!} \frac{n!}{q!\cdot(n-q)!}} $$
$$= \frac{n!}{q!\cdot(n-q)!} \underbrace{ \sum\limits_{k=0}^{n-q}{ \frac{(n-q)!}{k!\cdot(n-k-q)!} } }_{ =2^{n-q} } $$
