Das Urbild von b enthält höchstens ein Element?

Question

Sei \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung.

Für eine Teilmenge \( C \subseteq Y \) ist \( f^{-1}(C):=\{x \in X: f(x) \in C\} \subseteq X \) das Urbild von \( C \) unter \( f \). Für eine Teilmenge \( A \subseteq X \) ist \( f(A):=\{f(x): x \in A\} \subseteq Y \) das Bild von \( A \) unter \( f \).
Sei \( f: A \rightarrow B \) eine Funktion. Beweisen Sie:
\( f \) ist injektiv \( \Leftrightarrow \forall b \in B \quad f^{-1}(\{b\}) \) enthält höchstens ein Element.

Kann mir jemand folgende Aufgabe erklären? Ich verstehe was das Urbild und das Bild sind. Aber hab 0 Ahnung wie ich den Beweis der gefragt ist führen soll.

Answer 1

f injektiv

==>  Sei b∈B. Wegen f(A)⊆B gibt es zwei Fälle:

      1. b∉f(A). Dann gibt es kein x∈A mit f(x)=b, also ist \(  f^{-1}(\{b\}) \)
               die leere Menge, somit gibt es kein Element in \(  f^{-1}(\{b\}) \).

       2. b∈f(A). Dann gibt es mindestens ein x∈A mit f(x)=b.
             allerdings gibt es nie mehr als ein solches x; denn wenn
                    f(x1)= b und f(x2) = b, dann folgt wegen der Injektivität x1=x2.
            Also gibt es dann genau ein Element in b∉f(A).

      <==:  Umgekehrt zeigst du: Wäre f nicht injektiv, müsste es zwei
               verschiedene Elemente x1 und x2 in A geben und ein b∈B
                  mit f(x1)=f(x2)=b
        Also wären x1 und x2 in \(  f^{-1}(\{b\}) \) .
        Da \( f^{-1}(\{b\}) \) aber höchstens ein Element enthält,
        ist das nicht möglich.