Finden Sie die zwei letzen Ziffern der ganzen Zahl 1993^{1993} .

Question

Aufgabe:

Finden Sie die zwei letzen Ziffern der ganzen Zahl \( 1993^{1993} \).

Comments

Wie sehen denn deine eigenen Überlegungen zu der Aufgabe aus?

Answer 1

Hier rechnest du also modulo \(100\).

\(1993^{1993}\equiv_{100} 93^{1993}\equiv_{100} (-7)^{1993} \)

Wir sehen hier eine 7 und freuen uns, denn

\(7^2 = 49\) und damit

\(7^4 = 49^2 = (50-1)^2  = \underbrace{2500 - 100}_{\equiv_{100} 0}+ 1\)

Außerdem wissen wir:

\(1993 = 2000-8+1 = 4\cdot k + 1\) mit geeignetem \(k\).

Damit können wir weiterrechnen:

\( (-7)^{1993} \equiv_{100} (-7)^{4k+1}\equiv_{100} 1^k\cdot (-7) \equiv_{100} 93\)

Die letzten beiden Ziffern sind also 93.

Answer 2

Du musst 1993 und Potenzen davon mod 100 betrachten.

Was ist die erste Zahl n, für die \(1993^n\),den Rest 1  bei Teilung durch 100 lässt?

Answer 3

Jede Potenz mit der Basis 1993 deren Exponent eine durch durch 4 teilbare Zahl ist, endet auf 01. Dann ist 1993¹⁹⁹²≡1 mod 100. und 1993¹⁹⁹³ endet auf 93.

Answer 4

1993 = 93 mod 100 = -7 mod 100

(-7)^1993=(-7)^(2000-7)= (-7)^2000 * (-7)^(-7)

Betrachten wir erstmal -7^2000

(-7)^2000 = -7^(4*500) = ((-7)^4)^500 = (49^2)^500= 2401^500 = 1^500 = 1 (weil 2401= 1 mod 100)

=> (-7)^2000=1 mod 100

jetzt (-7)^(-7) = (-7)^(7*(-1)) = (-7)^((3+4)*(-1)) = ((-7)^4 * (-7)^3)^(-1)

(-7)^4=7^4=2401=1 (haben wir oben gerechnet)

(-7)^3= -343 = -43

Also haben wir noch (-43)^(-1) also die Inverse,
Löse das folgende Gleichungssystem:
-43*x=1 mod 100 |*(-1)
43*x=-1 mod 100 (du musst dann eine geeigneite Vielfache für 43 finden, die dann auf "01" an den letzten zwei Stellen endet., da hilt es die ersten zehn Vielfachen von 43 zu rechnen)

Spoiler:

301 (=1 mod 100) ist das 7-Fache von 43 und endet mit "01".

Also 43*x=-301 (was hier dasselbe ist wie -1) x=-7=93 mod 100
Heißt 1993^1993 endet mit der Zahl 93.