Komplexe Zahlen in Reihen

Question

Aufgabe: Habe ich das so richtig gemacht?

Text erkannt:

Aufgabe 2: Bestimmen Sie Menge der \( z \in \mathbb{C} \), für die die folgende Potenzreihe konvergiert:
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}-n+4}{(n+4)^{2}} z^{n} . \)

Skizzieren Sie diese Menge.

Text erkannt:

Aufgabe 2 .
\( \begin{array}{l} =\underbrace{\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{4}+9 n^{3}+12 n^{2}+64 n+64}{n^{4}+9 n^{3}+19 n^{2}+15 n+100}\right)}_{=1} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}|z| \\ =\overline{\lim }|z|=\overline{\lim }_{n \rightarrow \infty} \sqrt{z \bar{z}}=\sqrt{z \bar{z}}<1 \\ \Rightarrow\{z \in \mathbb{C}: \sqrt{z \bar{z}}<1\}=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re}(z)<\Lambda \wedge \operatorname{Im}(z)<1\} \\ \end{array} \)

Answer 1

Der Anfang bedeutet ja:   Konvergenzradius ist r=1.

Dann konvergiert die Potenzreihe jedenfalls für alle z miz |z| < 1.

Das ist der offene Einheitskreis um 0.

\( \{z \in \mathbb{C}: \sqrt{z \bar{z}}<1\}=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re}(z)<\Lambda \wedge \operatorname{Im}(z)<1\}  \)  

Diese Gleichung ist falsch, denn wenn z=a+bi ist, dann bedeutet ja

\( \sqrt{z \bar{z}} \lt 1 \) Das Gleiche wie \( \sqrt{a^2 + b^2 } \lt 1 \)

oder auch \( {a^2 + b^2 } \lt 1 \).

Comments

Okay ist aber die Menge korrekt, ausser jetzt die falsche Menge?

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Ja, ich denke das sieht gut aus.