Teileraufgabe vermutlich mit Primzahlen

Question

Aufgabe:

Eine natürliche Zahl hat 12 Teiler und ist selbst ein Teiler von 1440.

Welche Zahlen könnten das sein?

Problem/Ansatz:

Ich denke, ich kann mit den Primzahlen arbeiten. Ich weiß aber nicht, wo ich anfangen soll.

Answer 1

Dann ist wohl x= 60 ;

Das muss nicht sein. x kann auch 72 sein 96 oder oder 160.

Eine Zahl mit genau 12 Teilern ist entweder

1) die 11. Potenz einer Primzahl

oder

2) das Produkt einer Primzahl mit der 5. Potenz einer anderen Primzahl

oder

3) das Produkt zweier verschiedener Primzahlen mit dem Quadrat einer dritten Primzahl.

Dabei müssen hier alle beteiligten Faktoren aus der Primfaktorzerlegung vom \(1440 = 2^5\cdot 3^2 \cdot 5\) sein.

Eine elfte Potenz kommt hier nicht vor.

\( 2^5\cdot 3\) ist möglich ebenso wie \(2^5\cdot 5\).

Der letzte der drei Fälle liefert die Möglichkeiten \( 2^2\cdot 3 \cdot 5\) und \( 2\cdot 3^2 \cdot 5\).

Comments

Schöne vollständige Antwort. Schlage ich dem FS als "Beste Antwort" vor. (+1)

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Hat abakus 3^2*2^3 gelistet?

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Wird er bestimmt noch ergänzen :-D

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Hat abakus 3²*2³ gelistet?

Nein, hat es nicht. Gleich oben wurde zwar 72 als mögliche Alternativlösung genannt, aber bei der nachgeschobenen Auflistung der möglichen Fälle hat er p²*q³ unterschlagen.

Answer 2

Wenn x die Zahl ist und du hast einen Teiler t von x dann gilt

t teilt x  und x teilt 1440    also auch  t teilt 1440.

Dann ist wohl x= 60 ; denn 60 hat genau die 12 Teiler

1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

Comments

Dann ist wohl x= 60 ; denn 60 hat genau die 12 Teiler

Woher weißt du das so schnell?

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Dann ist wohl x= 60 oder auch nicht.

Answer 3

1440=2⁵·3²·5. Zahlen mit einer Primfaktorenzerlegung der Form p³·q² oder p⁵·q oder p²·q·r haben genau 12 Teiler. {p,q,r}={2,3,5}. Da gibt es also noch einige außer 60.

Answer 4

Hallo,

erst einmal mache ich die Primfaktorzerlegung.

1440=12•12•10=2•2•3•2•2•3•2•5=2^5•3²•5^1

Nun muss man wissen, wie die Exponenten der Primfaktoren mit der Anzahl der Teiler zusammenhängt.

(Exponent1+1)(Exponent2+1)(Exponent3+1) → Anzahl der Teiler

1440 hat (5+1)(2+1)(1+1)=36 Teiler.

Die gesuchten Zahlen sollen genau 12 Teiler haben.

12=1•12=2•6=3•4=2•2•3

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2•6=(1+1)•(5+1)

3•2^5=96

5•2^5=160

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3•4=(2+1)(3+1)

2³•3²=72

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2•2•3=(1+1)(1+1)(2+1)

2²•3•5=60

2•3²•5=90

:-)

Comments

Nun muss man wissen, wie die Exponenten der Primfaktoren mit der Anzahl der Teier zusammenhängt.

Woher weiß man das? Wann wird das wo gelehrt?

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Das kann man sich leicht erschließen: jede Kombination der Primteiler liefert aufgrund der Eindeutigkeit der PFZ einen neuen Teiler. Wenn ein Primfaktor jetzt also 5 mal vorkommt, hast du insgesamt 6 Möglichkeiten, dass dieser Primfaktor in deinem Teiler vorkommt, nämlich keinmal, einmal, bis fünfmal. Analog für die restlichen Primfaktoren.

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Die aktuelle Schulmathematik hat elementare Zahlentheorie aus dem Stoffplan gestrichen. Wenn man jedoch die Potenzschreibweise einer Primfaktorenzerlegung beherrscht, kann man sich (Exponent+1)·(Exponent+1)·(Exponent+1)· ... erschließen.

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Woher weiß man das? Wann wird das wo gelehrt?

In der Schule steht sowas nicht auf dem Lehrplan.

https://de.wikipedia.org/wiki/Teileranzahlfunktion

Man sollte allerdings bis zum Abitur gelernt haben, wie Suchmaschinen, wie Google zu bedienen sind und wie man damit Dinge finden kann, die einen Interessieren.

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Woher weiß man das? Wann wird das wo gelehrt?

Es gab vor Jahren mal eine Aufgabe in der Mathematikolympiade Klasse 6, bei der sich die Teilnehmer die verwendeten Zusammenhänge erschließen mussten.

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Vielen Dank an allen für die Hilfe :)

Answer 5

Eine natürliche Zahl hat 12 Teiler und ist selbst ein Teiler von 1440. Welche Zahlen könnten das sein?

12 = 2^2·3 also z.B. 2·6, 3·4, 2·2·3

1440 = 2^5·3^2·5

Zahlen aus einem Primfaktor
Geht leider nicht, weil kein Primfaktor in der 11. Potenz auftritt.

Zahlen aus zwei Primfaktoren
2^5·3^1 = 96
2^5·5^1 = 160
2^3·3^2 = 72

Zahlen aus drei Primfaktoren
2^2·3^1·5^1 = 60
2^1·3^2·5^1 = 90

Damit haben wir die folgenden 5 Lösungen gefunden: 60, 72, 90, 96, 160.