3 Sektoren Leontiefmodell, Nachfragevektor, Produktionsvektor und Input-Output-Matrix.

Question

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Aufgabe 1: In einem 3-Sektoren-Leontief-Modell ist die Verbrauchsmatrix zum Nachfragevektor \( \mathbf{y}=(100,86,35)^{T} \) durch
\( \mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccc} 10 & 20 & 20 \\ 0 & 2 & 12 \\ 10 & 0 & 5 \end{array}\right) \)
gegeben.
(a) Geben Sie den dazu gehörenden Produnktionsvektor \( \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \) an.
(b) Bestimmen Sie die Input-Output-Matrix \( \mathbf{Z} \) dieser Verflechtungsstruktur.
(c) Die Nachfrage des Endverbrauchers nach den Produkten ändert sich. Der neue Nachfragevektor lautet nun \( \tilde{\mathbf{y}}=(100,120,80)^{T} \). Berechnen Sie den neuen Produktionsvektor \( \tilde{\mathbf{x}}=\left(\tilde{x}_{1}, \tilde{x}_{2}, \tilde{x}_{3}\right)^{T} \) der Sektoren, wenn davon ausgegeangen wird, dass sich die Verflechtungsstruktur, d.h. die Matrix Z, nicht ändert.

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Hallo, ich sitze gerade an der Übung und komme bei c nicht weiter.

Mein Produktionsvektor für a) x=(150,100,50)^T

b) die Input–Output–Matrix Z=

10/150      20/100     20/50

0              2/100        12/50

10/150        0             5/50

Bei c bin ich mir unsicher. Bis zur Zeilenstufenform bin ich gekommen.

x1= x11+x12+x13+y1

x2= x21+x22+x23+y2

x3= x31+x32+x33+y3

Es wird davon ausgegangen das die Verflechtungsstruktur, d.h die Matrix Z gleich bleibt. —> Z einsetzen:

x1=10/150x1+20/100x2+20/50x3+100

x2=2/100x2+12/50x3+120

x3=10/150x1+5/50x3+80

Durch umstellen erhält man:

(1-10/150)x1-20/100x2-20/50x3=100

(1-2/100)x2-12/50x3=120

-10/150x1+(1-5/50)x3=80

zusammengefasst: E—Z

Mit Gauß-Algo ist es ja quasi nur ein Schritt. LGS:

 x1                 x2.                x3

140/150.        -20/100.          -20/50. |.  100

  0.             98/100.           -12/50. |.  120

 -10/150.             0.               45/50.  |.   80. | Z3*14—Zeile1

Unsicher: -Zeile 3 mit 14 multiplizieren

            - danach Zeile 1 von Zeile 3 subtrahieren

Raus kommt bei mir dann:

140/150.        -20/100.       -20/50 | 100

0.                    98/100.       -12/50 | 120

0.                        0.            630/50| 1120.    |Zeilenstufenform

x3= 56000/630

Mir kommt es komisch vor mit dem Bruch dann x2 und x1 zu berechnen durch einsetzen und umstellen. Da kommen sehr große Brüche raus.

Answer 1

Wenn Du Gaussen willst, dann würd ich die Brüche wegnehmen.

https://www.geogebra.org/m/eyyvgraq

Da kannst ja damit mal nachrechnen, ob alles so stimmt, was Du aufgeschrieben hast - schwer durch zu steigen...

Üblicher Weise wird über die Inverse eine Matrixgleichung betrachtet.

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/872434

Comments

Vielen Dank an euch beide. Hat mir als Referenz super geholfen. War händisch schon mühselig. Hab kleine Abweichungen in der inversen aber damit kann ich leben.
hab als neuen Produktionsvektor p2=(181,146.8,102.204) raus.

Frag mich zwar immer noch weshalb es bei meiner Zeilenstufenform Probleme gab, aber dann werde ich es wohl eher mit der Inversen machen.

Guten Rutsch.

---

Von Hand ist es viel aufwendiger, mit der Inversen zu rechnen, wenn du die Inverse nicht mit dem TR berechnen darfst oder gegeben bekommst.

---

Da kann ich MC nur zustimmen..

 {{14 / 15, -1 / 5, -2 / 5, 100}15, {0, 49 / 50, -6 / 25, 120}50, {-1 / 15, 0, 9 / 10, 80}30}

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}14&-3&-6&1500\\0&49&-12&6000\\-2&0&27&2400\\\end{array}\right)\)

sollte vielleicht einfacher gehen...

{{14, -3, -6, 1500}+7{-2, 0, 27, 2400}, {0, 49, -12, 6000}, {-2, 0, 27, 2400}}

{{0, -3, 183, 18300}, {0, 49, -12, 6000}+49/3{0, -3, 183, 18300}, {-2, 0, 27, 2400}}

{{0, -3, 183, 18300}, {0, 0, 2977, 304900}/2977, {-2, 0, 27, 2400}}

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}0&-3&183&18300\\0&0&1&102.4185\\-2&0&27&2400\\\end{array}\right)\)

...

Answer 2

a) ist korrekt

b) stimmt auch

c)

Hier Ansatz und Ergebnis vom neuen Produktionsvektor

p2 = (E - Z)^(-1) * [100, 120, 80] = [182.7, 147.5, 102.4]

Comments

Dein Gleichungssystem

x1                x2.               x3
140/150.       -20/100.         -20/50. |. 100
0.           98/100.         -12/50. |. 120
-10/150.           0.             45/50. |. 80

ist noch in Ordnung. Wenn ich das mit dem TR löse komme ich auch auf das richtige Ergebnis

Die Zeilenstufenform ist allerdings verkehrt und daher kommen dort dann auch nicht die richtigen ergebnisse heraus.

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Welcher Punkt ist nicht in Ordnung? Ich muss das leider so rechnen, dürfen nur nen einfachen TR nutzen und am besten händisch.

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140/150·x - 20/100·y - 20/50·z = 100
98/100·y - 12/50·z = 120
- 10/150·x + 45/50·z = 80

II ; 14*III + I

49/50·y - 6/25·z = 120
- 1/5·y + 61/5·z = 1220

Damit bist du noch nicht am Ziel.