Funktionenfaltung f*f von f = 1, |x|< 1

Question

Frohes Neues!

Ich habe eine Frage zu einer Faltungsaufgabe. Meine Funktion ist f(x) = Χ_(-1,1).

Zu berechnen ist f * f. Diese Funktion sollte ja am Ende nicht Null im Intervall (-2, 2) sein, da \( \int\limits_{}^{} \) f(y)f(x-y)dy ≠ 0 für y ∈ (-1, 1) und x ∈ (-2, 2). Stimmt das bis hier?

Mein nächster schritt wäre dann, dass ich die Faltung für verschiedene x-Intervalle aufsplitte. Ich denke, die Intervalle (-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2) sind hier richtig, auch wenn ich noch keine wirkliche Begründung dafür habe. Selbst mit diesen Intervallen weiß ich aber nicht, über welche Intervallgrenzen integriert werden müsste. Die zu integrierende Funktion müsste ja aber einfach konstant 1 seien.

Falls mir kurz jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar. Am besten mit Erklärung wie genau die Lösung gefunden wird. In bisherigen Beispielen habe ich den Lösungsweg leider nicht wirklich verstanden.

Answer 1

Du kannst dir überlegen, wie du die Grenzen wählen musst, indem du verschiedene Fälle betrachtest. Im Integranden steht \(f(y)f(x-y)\). Wenn \(y\in (-1;1)\) ist, dann ist zumindest der erste Faktor ungleich 0. Jetzt muss aber \(x-y>-1\) bzw. \(x-y<1\) sein, damit auch der zweite Faktor ungleich 0 ist. Andernfalls wäre der zweite Faktor 0 und somit das gesamte Integral. Was folgt aus diesen Ungleichungen für \(y\)?

Die Faltung zweier Rechtecksfunktionen mit gleichem Träger liefert übrigens eine Dreiecksfunktion.

Comments

danke für die antwort, ich glaube das hat mir schon geholfen.

\(x-y>-1\) bzw. \(x-y<1\)

wenn ich das umstelle erhalte ich ja x - 1 < y < x + 1. wenn ich außerdem beachten muss, dass f(y)f(x-y) ≠ 0 ist, dann nehme ich als integral \( \int\limits_{max(-1, x - 1)}^{\min(1, x + 1)} 1  dy \).

jetzt noch die x in die vier intervalle einteilen die ich am anfang hatte

(-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2)

erhalte ich für die vier intervalle die funktionen

f₁(x) = -(x+2), f₂(x) = -(x+2) f₃(x) = x-2 f₄(x) = x-2.

(die intervalle lassen sich ja auf 2 intervalle zusammensetzen. das liegt an den integratonsgrenzen oder?) das ist ja ein dreieck. nur hätte ich gedacht dass das dreick nich negativ ist. wie kann das sein, wenn das ursprüngliche f >= 0?

Die Faltung zweier Rechtecksfunktionen mit gleichem Träger liefert übrigens eine Dreiecksfunktion

alles richtig?

---

wenn ich das umstelle erhalte ich ja x - 1 < y < x + 1.

Richtig. Andererseits muss aber \(-1<y<1\) gelten, so dass \(-1<y<x+1\) gilt bzw. \(x-1<y<1\). Über diese Bereiche musst du integrieren.

---

Es ist auch stets eine Skizze hilfreich: Skizziere f(y) über der horizontalen Achse, und in das gleiche Bild f(x-y) für versch. x. Beginne mit x ganz links, betrachte die Überlappungen und verschiebe den Graph von f(x-y) langsam nach rechts (wachsende x). Dann kann man genau erkennen, wo die Fälle wechseln.

---

 @Apfelmännchen das gilt ja durch die grenzen max( -1, x-1) und min(1, x + 1), da diese ja garantieren, dass -1 < y < 1 für alle grenzen der fall mit den größt gewähltesten grenzen ist?

@nudger die idee ist gut. sehe ich das richtig das sich die fälle ändern, wenn die ränder des streifens f(x-y) die des sreifens f(y) "verlassen" das wäre hier ja dann (-2, 0) (0, 2)

---

Ja genau. Man muss links und rechts auf die Ränder achten, die verlassen ja nicht gleichzeitig den Streifen, sondern erst der eine, dann der andere.

---

Dann hast du dich verrechnet.

---

Hallo apfelmännchen,

du musst mir leider nochmal genauer erklären wieso das nicht geht.

ich dachte wenn ich für -2 < x < 0 die integralgrenzen max(-1, x-1) und min(1, x + 1) nehme erhalte ich ja das integral \( \int\limits_{-1}^{x + 1} \), und durch die beschränkung von x ist die obere grenze von -1 bis 1, also genau -1< y < 1.

für 0 < x < 2 genau so, \( \int\limits_{x - 1}^{1} \) erhalte ich ja für die untere integralgrenze das minimum -1.

Ich sehe den fehler leider nicht.

---

Grenzen stimmen doch. Du hast dich dann einfach beim Integrieren verrechnet.

---

alles klar. Sollte ich denke ich hinbekommen.

Vielen dank für die Hilfe :)

Answer 2

Ich meine Deine Überlegungen sind richtig.

Noch zum Zeichnen: Skizziere Dreieckssignale ("Hütchen") um die beiden Graphen unterscheiden zu können. Oder nimm Rechteckssignale wie hier, aber unterschiedliche Höhe, zur Unterscheidung. Auf die Graphen kommt es nicht an, integriert wird ja rechnerisch. An der Skizze liest man nur die Integrationsgrenzen an.

Ich komme auf: \((f\ast f)(x)= 2+x\) für \(x\in [-2,0]\)

\((f\ast f)(x)= 2-x\) für \(x\in [0,2]\) und \(0\) sonst.

Mithilfe des Betrags lässt sich das noch zusammenfassen:

\((f\ast f)(x)= 2-|x|\) für \(x\in [-2,2]\) und \(0\) sonst.

Wie erwartet: Faltung zweier Rechteckssignale gibt ein Dreieckssignal.

Comments

bin nochmal drüber gegangen, habe jetzt die gleiche lösung.

Danke für die Hilfe :)