Die Kugel enthält alle Element \(x \in K^n\) mit Abstand
$$d(u,x)=|\{i=1, \ldots,n\mid u_i \neq x_i\}| \leq r$$
Den Abstand 0 hat nur u selbst und wird in der Summe für j=0 gezählt.
Des weiteren ist \(d(u,x)=j\) genau dann, wenn sich u und x in j Positionen unterscheiden. Man kann \(\binom{n}{j}\) Positionen dafür auswählen und hat auf jeder dieser Positionen q-1 "falsche" Elemente aus K zur Verfügung.
Daher diese Summe.