Kreiskegel: Aus einem dünnen, kreisrunden Blechstück (d=75 cm) wird ein 60° Sektor herausgeschnitten.

Question

1) Aus einem dünnen, kreisrunden Blechstück (d=75 cm) wird ein 60° Sektor herausgeschnitten. Aus dem Reststück wird eine Kreiskegel geformt. Wie gross sind Grundkreisradius, Höhe, Mantelflache und Volumen dieses Kegels?

2) Welches Volumen hat der Rotationskörper, der von einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a=3 cm und b=4 cm bei Drehung um die Kathete a erzeugt wird?

Answer 1

zu 1)

Nach dem Herausschneiden des 60°-Sektors verbleibt ein Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel

alpha = 300 °

Es gilt:

alpha / 360 ° = r / s

mit

r : Grundkreisradius des Kegels,
s : Radius des Kreissektors = Mantellinie des Kegels (hier: s = 37,5 mm)

Auflösen nach dem Grundkreisradius r ergibt:

r = alpha * s / 360 ° = 300 * 37,5 / 360 = 31,25 mm

 

Für die Höhe h des Kegels gilt nach Pythagoras:

h = √ ( s ² - r ² ) = √ ( 37,5 ² - 31,25 ² ) ≈ 20,73 mm

 

Für die Mantelfläche A_M des Kegels gilt:

A_M = π * r * s = π * 31,25 * 37,5 ≈ 3681,55 mm ²

 

Für das Volumen V des Kegels gilt:

V = ( 1 / 3 ) * π * r ² * h =  ( 1 / 3 ) * π * 31,25 ² * 20,73 ≈ 31426,15 mm ³ ≈ 31,43 cm ³

 

 zu 2)

Der entstehende Drehkörper ist ein Kreiskegel mit dem Grundkreisradius

r = b = 4 cm

und der Höhe

h = a = 3 cm.

Sein Volumen beträgt daher:

V = ( 1 / 3 ) * π * r ² * h = ( 1 / 3 ) * π * 4 ² * 3 ≈ 50,27 cm ³

Comments

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