Komplexe Zahlen; Einstiegsproblem

Question

Aufgabe:

-(cos(\( \frac{π}{4} \))-i · sin(\( \frac{π}{4} \)))

Aufgabe ist es Re, Im , Betrag und Arg zu bestimmen.

Re = -\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Im = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Betrag = 1

Das sind meine Ergebnisse bisher. Als Argument habe ich \( \frac{3π}{4} \) , das ist aber laut GeoGebra-Eingabe falsch. Ich finde hier meinen Fehler nicht, bin wahrscheinlich betriebsblind.

Comments

aber nach geogebra eingäbe falsch

Sollte heißen "Meine GeoGebra-Eingabe ist falsch"

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Hallo,

da der Realteil ngativ und der Imaginärteil positiv ist, liegt die Zahl im II. Quadranten, das Argument also zwischen ½π und π.

Dein Ergebnis ist also richtig.

Wie sah die Ausgabe von GeoGebra denn aus?

Answer 1

Du kannst das Argument, also den Winkel, doch direkt aus dem Kosinus bzw. Sinus mit \(\frac{\pi}{4}\) ablesen. (Ist hier natürlich falsch, habe falsch abgelesen).

Falls du den Winkel mit Hilfe von Realteil und Imaginärteil berechnen willst, musst du vorher immer erst überlegen, in welchem Quadranten sich die Zahl befindet, da du ggf. den Wert \(\pi\) addieren oder subtrahieren musst.

Comments

da stehe ich auf dem schlauch es sind doch auch nicht 45°

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... doch direkt aus dem Kosinus bzw. Sinus mit \(\frac{\pi}{4}\) ablesen.

wirklich? Da steht noch ein Minus-Zeichen vor dem Ausdruck:$$-\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)- i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) + i\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)$$Jetzt lese ich \(\frac34\pi\) ab.

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Habe das Minus vor dem Kosinus übersehen.

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aber wie bist du darauf gekommen

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Der Kosinus ist punktsymmetrisch bei \(\frac{\pi}{2}\) und der Sinus ist achsensymmetrisch um die Achse dadurch. Also gilt \(\cos(\frac{\pi}{2}-x)=-\cos(\frac{\pi}{2}+x)\) und \(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)\). Es hilft bei solchen Aufgaben aber auch immer eine Skizze.