Question

Ein Schwimmbecken hat den in der Abbildung dargestellten Grundriss und ist mit Wasser bis zum Rand gefüllt.

Der Bereich zwischen den Funktionen $f$ und $g$ hat eine Tiefe von $1,20 \mathrm{~m}$. Die Abteilung zwischen $g$ und $h$ ist $2,50 \mathrm{~m}$ tief.

$f(x)=-0.04 x^{2}+60$
$g(x)=0,005 x^{2}+30$
$\mathrm{h}(\mathrm{x})=-20$
$x$ - wird in Metern (m) angegeben

a) Berechne die Größe der gesamten Wasseroberfläche (Runde die Schnittpunkte aut Ganze).

b) Berechne den Wasserbedarf in Liter, der zur Füllung des Beckens notwendig ist. $V=G \cdot h$

Answer 1

Auch wenn's für die Klausur zu spät ist:

Zunächst Berechnung der Schnittpunkte von f und g, also der Gernzen für die nachfolgende Integration:

$$f(x)=g(x)$$$$\Leftrightarrow -0,04{ x }^{ 2 }+60=0,005{ x }^{ 2 }+30$$$$\Leftrightarrow -0,04{ x }^{ 2 }+60=0,005{ x }^{ 2 }+30$$$$\Leftrightarrow 0,045{ x }^{ 2 }=30$$$$\Leftrightarrow { x }^{ 2 }=\frac { 30 }{ 0,045 } =666,\overline { 6 }$$$$\Leftrightarrow { x }=\pm \sqrt { 666,\overline { 6 } } =\pm 26\quad (gerundet)$$

Berechnung des Oberflächeninhalts:

$$O=\int _{ -26 }^{ 26 }{ f(x)-h(x) } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ x }^{ 2 }+60-(-20)dx }$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ 80-0,04{ x }^{ 2 }dx }$$$$={ \left[ 80x-{ \frac { 0,04 }{ 3 } x }^{ 3 } \right] }_{ -26 }^{ 26 }$$$$=\left( 80*26-{ \frac { 0,04 }{ 3 } 26 }^{ 3 } \right) -\left( 80*(-26)-{ \frac { 0,04 }{ 3 } (-26 })^{ 3 } \right)$$$$=80*26-{ \frac { 0,04 }{ 3 } { 26 }^{ 3 } }+80*26-{ \frac { 0,04 }{ 3 } { 26 }^{ 3 } }$$$$=160*26-{ \frac { 0,08 }{ 3 } { 26 }^{ 3 } }$$$$=3691$$

Der Oberflächeninhalt beträgt also etwa 3691 m ².

Berechnung des Volumens, zunächst das Volumen V₁ des flachen Bereiches ( h₁ = 1,20 m). Dazu zunächst Berechnung der Oberflächeninhaltes G₁ in diesem Bereich:

$${ G }_{ 1 }=\int _{ -26 }^{ 26 }{ f(x)-g(x) } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ x }^{ 2 }+60-(0,005{ x }^{ 2 }+30) } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ x }^{ 2 }+60-0,005{ x }^{ 2 }-30 } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ 5x }^{ 2 }+30 } dx$$$$={ \left[ 30x-{ \frac { 0,045 }{ 3 } x }^{ 3 } \right] }_{ -26 }^{ 26 }$$$$={ \left[ 30x-{ 0,015x }^{ 3 } \right] }_{ -26 }^{ 26 }$$$$=\left( 30*26-{ 0,015*26 }^{ 3 } \right) -\left( 30*(-26)-{ 0,015(-26) }^{ 3 } \right)$$$$=30*26-{ 0,015*26 }^{ 3 }+30*26-{ 0,015*26 }^{ 3 }$$$$=30*52-0,03*{ 26 }^{ 3 }$$$$=1033$$Daraus ergibt sich für das Volumen V₁:$$\Rightarrow { V }_{ 1 }={ G }_{ 1 }*{ h }_{ 1 }=1033*1,20=1240$$

Der flache Bereich hat also ein Volumen von 1240 m ³.

Nun zum Volumen V₂ des tiefen Bereichs ( h₂ = 2,50 m). Zunächst Berechnung des Oberflächeninhaltes:

$${ G }_{ 2 }=O-{ G }_{ 1 }=3691-1033=2658$$Daraus ergibt sich für das Volumen V₂:$$\Rightarrow { V }_{ 2 }={ G }_{ 2 }*{ h }_{ 2 }=2658*2,5=6645$$

Der tiefe Bereich hat also ein Volumen von 6645 m ³.

Insgesamt ergibt sich für das Volumen V des Schwimmbeckens:

$$V={ V }_{ 1 }+{ V }_{ 2 }=1240+6645=7885$$

Es werden also etwa 7885 m ³ Wasser benötigt, um das Becken zu füllen.