Grenzwertverhalten: f(x)=x^4*e^x gegen Unendlichkeit.

Question

Hallo, und zwar habe ich Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe:

f(x)= x⁴_*e^x

Die Aufgabe ist es, für diese Funktion lim x -> Unendlichkeit zu berechnen. Wie kommt man darauf?

Ich bin mir nicht ganz sicher, was gefragt ist, weil ich den Rest, den er auf der Tafel war, auch nicht verstanden hatte… und der Lehrer meinte, man braucht das für die Hausaufgabe:

f(x)=x⁴_*e^x

Hochpunkt: (-4/4,6)

x<0

0 < x⁴e^x< 5            I:x²

0 < x²( e/x² 5/x^2)

Als Merksatz hatten wir uns folgendes aufgeschrieben:
Grenzwertverhalten für f(x)=x^n*e^x
Für beliebiges n∈/N gilt: lim(x^n*e^x)=0

Ich wäre sehr dankbar für Hilfe!

Answer 1

Grenzwertverhalten für f(x)=xn*ex
Für beliebiges n∈/N gilt: lim(xn*ex)=0

Da fehlt was. Geht \(x\) gegen \(\infty\) oder \(-\infty\)? Oder stand im Exponenten vielleicht \(-x\)?

Du musst dir eigentlich nur merken, wie die e-Funktion aussieht, dann kannst du alle relevanten Fällen recht leicht herleiten. Geht der Exponent gegen \(-\infty\), so geht der e-Term gegen 0. Geht der Exponent gegen \(\infty\), so geht der e-Term auch gegen \(\infty\). Der e-Term ist immer stärker als die Potenzen von \(x\) vor dem e-Term. Der Term vor dem e-Term entscheidet nur über das Vorzeichen, also ob der gesamte Ausdruck gegen \(\infty\) oder \(-\infty\) geht. Da schaut man dann einfach, ob man gerade oder ungerade Potenzen hat (das Globalverhalten ganzrationaler Funktionen solltest du noch kennen).

Lasse dir in deinem Rechner oder mit einem anderen Tool mal einige solcher Funktionen zeichnen und spiele ein wenig herum und beobachte das Grenzverhalten. Damit kannst du dir dann die verschiedenen Fälle anschauen.

Comments

Sie haben Recht, da fehlt das - Unendlichkeit.

Danke für die Hilfe!

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Dann gehts gegen 0. :)

Answer 2

Für Fälle, wo kein Merksatz notiert oder parat ist.

\(f(x)=x^4 \cdot e^x \)

Die einzige Nullstelle ist bei \(x=0\). Der einzige lokale Extremwert liegt bei \(H(-4|4,6)\)

Ich betrachte

\(f(-10)=(-10)^4 \cdot e^{-10}=\frac{10000}{e^{10}}≈0,45 \) Somit gilt \( \lim\limits_{x\to-\infty} x^4 \cdot e^x=0\)

\(f(3)=3^4 \cdot e^{3}=81 \cdot e^{3} ≈1627\)  Somit gilt \( \lim\limits_{x\to\infty} x^4 \cdot e^x=∞\)

Comments

Genau, weil du den Extremwert ja auch direkt der Funktionsgleichung entnehmen kannst. Dann kann ich mir gleich das Verhalten des Graphen anschauen oder "unendlich" größe bzw. kleine Werte einsetzen. Mir erschließt sich wirklich nicht, was du mit deinen überaus unpraktikablen Rechnungen vermitteln willst.

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Genau, weil du den Extremwert ja auch direkt der Funktionsgleichung entnehmen kannst.

Guck mal da, (oder meinst du jetzt auch noch, dass ich den Extremwert nicht auch selbst finden könnte.)

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Sorry, das hatte ich tatsächlich nicht mehr auf dem Schirm. Wenn natürlich sämtliche andere Berechnungen vorher stattgefunden haben, dann kann diese Argumentation natürlich sinnvoll sein. Aber erst den Extrempunkt zu berechnen, um diese Argumentation durchzuführen, halte ich für unpraktisch.

Da aber die Infos gegeben sind, nehme ich meinen Einwand diesbezüglich zurück. Sorry.

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Danke dir dafür!

Answer 3

mit L'Hospital:

x^4*e^x = x^4/e^-x

-> 3x^2/-e^-x -> 6x/e^-x >  6/-e^-x = 6/0 = oo, e^-x= 1/e^x -> 0 für x -> +-oo

Comments

6/-e^-x = 6/0

falsch. Immer wieder.

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Manchmal scheint es, als ob es vom Autor des hemdsärmeligen Umgangs mit Schreibweisen abhinge, ob sich jemand zu einem Kommentar bemüßigt fühlt weil er die Grenze von "allzu locker" zu "falsch" überschritten sieht (jüngstes Beispiel).