Richtiger Ansatz zum Bestimmen des Grenzwerts

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion:

$$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}} [1-sin(x)]tan(x)$$

Problem/Ansatz:

$$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}[1-sin(x)]tan(x) = 0*\infin$$

$$L'Hos. \Longrightarrow -cos(x)*tan(x)+(1-sin(x))\frac{1}{cos^2(x)}$$

$$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}-cos(x)*tan(x)+\frac{1-sin(x)}{cos^2(x)} = 1$$

Ich wollte einmal fragen, ob ich hier den richtigen Ansatz habe und vor allem die Rechnung richtig ist.

Comments

Im Fall 0*∞ musst du den Term erstmal umformen

auf 0:0 oder ∞:∞.

Answer 1

\( [1-\sin(x)]\tan(x) =  \frac{1-\sin(x)}{\frac{1}{\tan(x)}}\)

Das ist dann der Typ 0 : 0 . Mit de Hospital gibt das

\(  \frac{-\cos(x)}{\frac{-1}{\sin(x)^2 }}   =  \frac{-\cos(x)\sin(x)^2 } {-1} \)

Hier geht bei π/2 der Zähler gegen 0 und der Nenner ist -1, also Grenzwert 0.

Zeigt auch der Graph:  ~plot~ (1-sin(x))*tan(x);x=pi/2 ~plot~

Answer 2

Nutze einfach \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\):

\((1-\sin x)\tan x = \frac{(1-\sin x)\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x-\sin^2 x}{\cos x}\quad (1)\)

Das ist für \(x\to\frac{\pi}2\) vom Typ "\(\frac 00\)". L'Hospital liefert:

$$(1) \stackrel{L'Hosp.}{\sim}\frac{\cos x - 2\sin x\cos x}{-\sin x}\stackrel{x\to\frac{\pi}2}{\longrightarrow}0$$