Parameter so bestimmen, dass die Gleichung erfüllt ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie einen Wert für den Parameter so, dass die Gleichung erfüllt ist.

b) ∫ b=k a=0,5 4cos(x)dx=2 ; 0 ≤ k ≤ 2pi

c) ∫ b=2 a=1 ae^-x dx = 5

d) ∫ b=0,5 a=0 (a+e^(1-x) dx = 2

Kann mir jemand helfen diese Beispiele durchzurechnen? Ich hab keine Schwierigkeiten die Stammfunktion zu bilden aber irgendwie komm ich nicht weiter sobald ich a und b einsetze und nach dem Parameter auflösen möchte. Bei mir kommen mehrere Werte raus…

Vielen Dank im Voraus!

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Lade mal Deine Rechnung hoch, damit man sieht wo das Problem ist.

In c) und d) ist übrigens kein Parameter unbekannt, da steht ja a=1 bzw. a=0.

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https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+4cosx+from+0.5+to+a+equals+2

Answer 1

a) \(  \int \limits_{0,5}^k 4\cos(x)dx = 4 [\sin(x)]_{0,5}^k =4(\sin(k) - sin(0,5)) = 2  \)

War das k wirklich die obere Grenze und 0,5 die untere ???

==>    \( \sin(k) - sin(0,5) = 0,5  \)

==>    \( \sin(k) = 0,5 + sin(0,5) ≈ 0,9794\)

==>  k ≈ 1,37

b) Wohl so:    \(  \int \limits_{1}^2 a \cdot e^{-x} dx = 5 \)

==>  \(  a \cdot \int \limits_{1}^2  e^{-x} dx = 5 \)

==>  \(  a \cdot (e^{-1}-e^{-2}) = 5 \)

==>   \(  a = \frac{5}{ e^{-1}-e^{-2} } \)

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Alles klar, vielen lieben Dank!

Answer 2

d)

\( \int\limits_{0}^{0,5}(a+e^{1-x})dx = \int\limits_{0}^{0,5} a  dx +\int\limits_{0}^{0,5}e^{1-x}dx\)

1.)Einschub:

\(  \int\limits_{0}^{0,5} a dx=[a \cdot x]_{0}^{0,5}=[0,5a]-0 \)

2.)Einschub:

\(\int\limits_{0}^{0,5}e^{1-x}dx\)

Substitution:

\(u=1-x\) → \(x=1-u\)    →   \(dx=-1du\)

Anpassung der Grenzen, (dann ist es nicht mehr nötig, eine Re-Substitution durchzuführen).

untere Grenze  \(u=1-0,5=0,5\)

obere Grenze \(u=1-0=1\)

\(\int\limits_{0}^{0,5}e^{1-x}dx=-\int\limits_{0,5}^{1}e^{u}du=[-e^{u}]_{0,5}^{1}=[-e]-[-e^{0,5}]=\sqrt{e}-e\)

Zusammenfassung:

\(0,5a+\sqrt{e}-e=2\)

\(0,5a=2+e-\sqrt{e}\)

\(a=4+2e-2\sqrt{e}\)